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版权所有翻印必究咨询热线：400-678-3456环球网校学员专用资料第1页/共7页第五节截面图形的几何性质一、静矩与形心对图所示截面静矩的量纲为长度的三次方。对于由几个简单图形组成的组合截面形心坐标显然，若z轴过形心，yc=0，则有Sz=0，反之亦然：若y轴过形心，zc=0，则有Sy=0，反之亦然。【真题解析】5—30（2007年真题）图所示矩形截面，m-m线以上部分和以下部分对形心轴z的两个静矩()。版权所有翻印必究咨询热线：400-678-3456环球网校学员专用资料第2页/共7页(A)绝对值相等，正负号相同(B)绝对值相等，正负号不同(c)绝对值不等，正负号相同(D)绝对值不等，正负号不同解：根据静矩定义，图示矩形截面的静矩等于m-m线以上部分和以下部分静矩之和，即，又由于z轴是形心轴，Sz=0，故答案：(B)二、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积对图所示截面，对z轴和y轴的惯性矩为惯性矩总是正值，其量纲为长度的四次方，也可写成版权所有翻印必究咨询热线：400-678-3456环球网校学员专用资料第3页/共7页iz、iy称为截面对z、y轴的惯性半径，其量纲为长度的一次方。截面对0点的极惯性矩为因=y2+z2，故有Ip=Iz+Iy，显然Ip也恒为正值，其量纲为长度的四次方。截面对y、z轴的惯性积为Iyz可以为正值，也可以为负值，也可以是零，其量纲为长度的四次方。若y、z两坐标轴中有一个为截面的对称轴，则其惯性积Iyz恒等于零。例6图(a)、(b)所示的两截面，其惯性矩关系应为哪一种？A.(Iy)1(Iy)2,(Iz)1=(Iz)2B.(Iy)1=(Iy)2,(Iz)1(Iz)2C.(Iy)1=(Iy)2,(Iz)1(Iz)2D.(Iy)1(Iy)2,(Iz)1=(Iz)2解：两截面面积相同，但图(a)截面分布离z轴较远，故Iz较大。对y轴惯性矩相同。答案：B2016—63真题面积相同的两个如图所示，对各自水平形心轴z的惯性矩之间的关系为（）。版权所有翻印必究咨询热线：400-678-3456环球网校学员专用资料第4页/共7页提示：图（a）与图（b）面积相同，面积分布的位置到z轴的距离也相同，故惯性矩Iza=Izb而图（c）虽然面积与（a）、（b）相同，但是其面积分布的位置到z轴的距离小，所以惯性矩Izc也小。答案：（D）常用截面的几何性质见表2。例7图(a)所示截面对z轴和y轴的惯性矩和惯性积为多少?版权所有翻印必究咨询热线：400-678-3456环球网校学员专用资料第5页/共7页解：根据惯性矩的可加性，图示截面对z轴和y轴的惯性矩与半圆相同，如图(b)所示。至于惯性积的计算，可以把原图示截面分解成两个分别对称于y轴和z轴的图形，如图(c)和(d)所示，两部分的Izy都为零，故原截面Izy也就是零。答案：C三、平行移轴公式若已知任一截面图形形心为c，面积为A，对形心轴Zc和Yc的惯性矩为Izc和Iyc、惯性积为Iyczc，则该图形对于与zc轴平行且相距为a的z轴及与Yc轴平行且相距为b的y轴的惯性矩和惯性积分别为版权所有翻印必究咨询热线：400-678-3456环球网校学员专用资料第6页/共7页显然，在图形对所有互相平行的轴的惯性矩中，以形心轴的惯性矩为最小。【真题解析】5—37（2009年真题）矩形截面挖去一个边长为a的正方形，如图所示，该截面对z轴的惯性矩Iz为()。解：正方形的形心轴距z轴的距离是a/2，如下图所示。用移轴定理得整个组合截面的惯性矩为答案：(c)四、主惯性轴和主惯性矩、形心主（惯性）轴和形心主（惯性）矩若截面图形对通过某点的某一对正交坐标轴的惯性积为零，则称这对坐标轴为图形在该点的主惯性轴，简称主轴。图形对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。显然，当任意一对正交坐标轴中之一轴为版权所有翻印必究咨询热线：400-678-3456环球网校学员专用资料第7页/共7页图形的对称轴时，图形对该两轴的惯性积必为零，故这对轴必为主轴。过截面形心的主惯性轴，称为形心主轴。截面对形心主轴的惯性矩称为形心主矩。杆件的轴线与横截面形心主轴所组成的平面，称为形心主惯性平面。例8求图所示T形截面的形心主惯性矩Iz、Iy。解：显然，对称轴y是形心主轴，先以z0为参考轴，求形心坐标。由于对称，zc=0，则取形心轴z与y垂直，z也是形心主轴。对z轴的惯性矩为对y轴的惯性矩为