公共基础数理化精讲班第一章高等数学九1531963632347

环球网校学员专用资料第1页/共6页第4章多元函数微分学第一节偏导数及计算1．偏导数（1）定义：设函数(,)zfxy在点00(,)xy的某邻域内有定义，当y固定在0y而x在0x处有增量x时，相应的函数有偏增量0000(,)(,)fxxyfxy，如果极限00000(,)(,)limxfxxyfxyx存在，则称此极限值为函数(,)zfxy在点00(,)xy处对x的偏导数，记为xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000类似有yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0000000注：多元函数在一点连续和偏导数存在没有任何关系。（2）偏导数的计算：对哪个变量求偏导，只要将其余变量当常数对待，对该变量求导数则可。【例题4-1】函数(,)fxy在点000(,)pxy处有一阶偏导数是函数在该点连续的：(A)必要条件(B)充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要解：显然应选D。【例题4-2】设xyu1arccos，则xu等于：（A）1yxy（B）21(1)yxy（C）2sin11(1)yxyxy环球网校学员专用资料第2页/共6页（D）2(1)yxyxy解：将xyu1arccos中的变量y看成常数，对变量x求导数。利用导数公式和复合函数求导法则，有11()1(1)212(1)xyuyxyxyxyxy故应选D。2.多元复合函数求偏导多元函数复合的情况比较复杂，不可能用一个公式表达所有情况，关键是掌握复合函数求导的方法，总结可分为以下步骤：1）理清函数、中间变量、自变量的关系，画出关系图。2）写出对应的公式3）计算得到结果【例题4-3】．若(,)zfxy和()yx均可微，则dzdx等于：（A）ffxy（B）ffdxydx（C）fdydx（D）ffdxydx解：(,)zfxy和()yx复合后是z对x的一元函数，dzdxffdyffdxydxxydx故应选B。3.隐函数求偏导环球网校学员专用资料第3页/共6页设方程0),,(zyxF确定了隐函数),(yxfz，函数),,(zyxF具有连续偏导数且0zF则,yxzzFFzzxFyF【例题4-4】．函数(,)zzxy由方程ln0xzxyxyz所确定，则zy等于：（A）1xzxz（B）12x（C）()(1)zxzyxxz（D）(1)(1)zxyyxz解：记(,,)Fxyzlnxzxyxyz，则1(,,)yFxyzxy，1(,,)zFxyzxz1(1)1(1)yzxFzzxyyyFyxzxz，故应选D。4.高阶偏导数逐次求一阶偏导数【例题4-5】．设()xzyy，其中()u具有二阶连续导数，则2zxy等于：(A)1()xyy（B）21()xyy（C）1（D）1()()xxyyy环球网校学员专用资料第4页/共6页解：1()()zxxyxyyy，22()()zxxxxyyyyy，故应选B。第二节全微分（1）如果),(yxfz在点),(yx可微，则偏导数必定存在，且全微分dyyzdxxzdz（2）全微分与偏导数的关系：全微分存在偏导数存在，偏导数连续全微分存在，【例题4-6】设22()zfxy，则dz等于：(A)22xy(B)22xdxydy(C)22()fxydx(D)222()()fxyxdxydy解：由于222()zxfxyx，222()zyfxyy，则zzdzdxdyxy=222()()fxyxdxydy故应选(D).第三节多元微分学的应用1.几何应用（1）空间曲线的切线及法平面若曲线由参数方程)()()(tzztyytxx给出，则在点),,())(),(),((00000000zyxMtztytxM处，切向量为)('),('),('000tztytxT，且环球网校学员专用资料第5页/共6页切线方程)(')(')('000000tzzztyyytxxx法平面方程0))(('))(('))(('000000zztzyytyxxtx（2）曲面的切平面及法线1）若曲面方程为0),,(zyxF，在点),,(0000zyxM处，法向量)}(),(),({000MFMFMFnzyx，且切平面方程))(())((0000yyMFxxMFyx0))((00zzMFz，法线方程)()()(000000MFzzMFyyMFxxzyx.2）若曲面方程为0000(,),(,,),zfxyMxyz在点处法向量}1),,(),,({0000yxfyxfnyx.切平面方程))(,())(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx，法线方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx.【例题4-7】曲面221zxy在点111(,,)222处的切平面方程是：（A）302xyz；（B）302xyz；（C）302xyz；（D）302xyz解:切平面的法向量为}1,1,1{}1,2,2{21,21yxyxn,切平面方程的点法式方程为0)21()21()21(zyx,即302xyz,故应选(A).2.二元函数的极值（1）二元函数极值的必要条件：可导函数),(yxf在),(00yx点有极值的必要条件是0),(,0),(00'00'yxfyxfyx，（2）二元函数极值的充分条件：设函数),(yxf在),(00yx点某邻域内具有一阶、二阶连续偏导数，且0),(,0),(0000yxfyxfyx，环球网校学员专用资料第6页/共6页令CyxfByxfAyxfyyxyxx),(,),(,),(000000则1)为极小值；则为极大值则且),(,0,),(,0,000002yxfAyxfABAC2),02BAC则无极值；3),02BAC该方法失效.【例题4-8】下列各点中为二元函数3322339zxyxyx的极值点的是：(A)(1,0)(B)(1,2)(C)(1,1)(D)(3,0)解:由223690360zxxxzyyy解得四个驻点(1,0)(1,2)(3,0)(3,2)，再求二阶偏导数22222660,66zzzxyxxyy，，在点(1,0)处，21260ACB，是极值点。在点(1,2)处，212(6)0ACB，不是极值点。类似可知(3,0)也不是极值点，点(1,1)不是所给函数的驻点，也不是极值点。故应选(A).【例题4-9】若函数(,)fxy在闭区域D上连续，下列关于极值点的陈述中正确的是：(A)(,)fxy的极值点一定是(,)fxy的驻点(B)如果0P是(,)fxy的极值点，则0P点处20BAC（其中22222,,fffABCxxyy）(C)如果0P是可微函数(,)fxy的极值点，则0P点处0df(D)(,)fxy的最大值点一定是(,)fxy的极大值点