公共基础数理化精讲班第一章高等数学二1531878954477

环球网校学员专用资料第1页/共5页第二节空间的平面和直线1.平面及方程（1）平面的点法式方程:设平面过点),,(000zyx，法向量为},,{CBAn,则平面方程为0)()()(000zzcyyBxxA这个方程就叫做平面的点法式方程。【例题1-6】过点)1,0,1(且与平面0194zyx平行的平面方程为（）。（A）034zyx；（B）032zyx；（C）0192zyx；（D）0942zyx解：由于所求平面与平面0194zyx平行，而平面0194zyx的法向量为}4,1,1{n，故所求平面的法向量可为}4,1,1{n，再由其过点)1,0,1(，利用平面的点法式方程，有0)1(4)0(1)1(1zyx即034zyx，故选A。（2）平面的一般方程:0AxByCzD其中{,,}nABC为平面的法向量，特别地当0D时，平面过原点；当0A时，平面平行于x轴,这时若0D，平面不经过x轴，若0D，则平面经过x轴【例题1-7】设平面的方程为34520xyz,以下选项中错误的是:(A)平面过点(1,0,1)(B)平面的法向量为345ijk(C)平面在z轴的截距是25(D)平面与平面2220xyz垂直环球网校学员专用资料第2页/共5页【解析】平面34520xyz的法向量为1(3,4,5)n，平面2220xyz的法向量为2(2,1,2)n，两个平面垂直的充要条件是法向量的数量积为零，而12(3)(2)4(1)5(2)80nn，故(D)选项错误。将点(1,0,1)代入34520xyz满足，(A)正确；显然345ijk是平面的法向量，(B)正确；将0xy代入34520xyz，解得25z，平面在z轴的截距是25，(C)正确。正确答案应选：D（3）两平面的夹角两平面的夹角就是他们法向量的夹角，规定夹角90。设平面1和2的法向量分别为1111{,,}nABC和2n222{,,}ABC，则2121cosnnnn)20(222222212121212121CBACBACCBBAA（4）两平面垂直、平行的充要条件02121212121CCBBAAnn2121212121CCBBAAn//n//（5）点到平面的距离点0000(,,)Mxyz到平面0AxByCzD的距离为222000CBADCzByAxd2.直线及方程（1）空间的直线是两个平面的交，故空间直线的一般方程为:0022221111DzCyBxADzCyBxA方向向量22211121CBACBAkjinns环球网校学员专用资料第3页/共5页注：空间的线必须用两个式子表达。（2）对称式方程:设直线过点),,(000zyx，方向向量为},,{pnms,则直线方程为pzznyymxx000如果mnp、、中有一个为零，例如0n，这时直线方程为000xxzzmpyy。【例题1-8】已知平面过点)0,1,1()1,0,0()1,1,0(,则与平面垂直且过点)1,1,1(的直线的对称方程为:(A)110111zyx(B)1,1111yzx(C)1111zx(D)110111zyx解:由于直线与平面垂直，故平面的法向量就是直线的方向向量。而平面过点)0,1,1()1,0,0()1,1,0(，向量{1,1,1}和{0,1,0}在平面内，所以平面的法向量010111kjinki,所求直线的方向向量为ki,故应选(B).（3）参数式方程:000,()xxmtyynttzzpt【例题1-9】设直线的方程为12233xtytzt,则直线:(A)过点(1,2,3),方向向量为23ijk(B)过点(1,2,3),方向向量为23ijk(C)过点(1,2,3),方向向量为23ijk(D)过点(1,2,3),方向向量为23ijk解：由所给方程知直线过点(1,2,3)，方向向量为23ijk,也可为23ijk,故应选(D).环球网校学员专用资料第4页/共5页（4）两直线的夹角两直线的夹角是用他们方向向量的夹角来表达，同样为保证夹角的唯一性，规定夹角90。设直线L1、L2的方向向量为1111{}smnp、、和2222{}smnp、、，则2121cosssss)20(222222212121212121pnmpnmppnnmm【例题1-10】设有直线1135:121xyzL，与23:112xtLytzt，则1L与2L的夹角等于：(A)2(B)3(C)4(D)6【解析】1L的方向向量1(1,2,1)s，2L的方向向量2(1,1,2)s，故2222221(1)(2)(1)121cos21(2)1(1)(1)2所以6正确答案应选：D（5）两直线垂直、平行的充要条件02121212121ppnnmmssLL2121212121ppnnmms//sL//L（6）直线与平面的夹角直线L和它在平面上的投影直线的夹角称为直线L和平面的夹角。设直线L的方向向量}{pnms、、，平面的法向量为},,{CBAn，记直线L和平面的夹角为，直线L的方向向量s和平面的法向量n的夹角为，则2，故有sincosnsns222222(0)2AmBnCpABCmnp（7）直线与平面垂直、平行的充要条件CpBnAmn//sL环球网校学员专用资料第5页/共5页0CpBnAmns//L【例题1-11】设直线的方程为1xyz,平面的方程为20xyz,则直线与平面：(A)重合(B)平行不重合(C)垂直相交(D)相交不垂直解:直线的方向向量为(1,1,1)s，平面的法向量为(1,2,1)n，1210sn，这两个向量垂直，直线与平面平行，又直线上的点(0,1,0)不在平面上，故直线与平面不重合，应选B。