公共基础数理化精讲班第一章高等数学二十一1534853874206

环球网校学员专用资料第1页/共4页第二节矩阵1.矩阵及有关概念（1）定义：mn个数排成的m行n列的数表111212122212nnmmmnaaaaaaaaa称为是一个mn矩阵，简记为()ijmnAa。数ija称为矩阵A的第i行第j列元素。当mn时，称A为n阶方阵，称()ijmnAa为A的负矩阵。（2）矩阵的相等两个矩阵(),()ijmnijstAaBb，如果,,msnt则称A与B是同型矩阵。两个同型矩阵(),()ijmnijstAaBb的对应元素都相等，即(1,2,,)ijijabin，则称A与B相等，记为AB。（3）几种特殊矩阵1）零矩阵：元素都是0的矩阵称为零矩阵，记为O。2）只有一行的矩阵称为行矩阵（行向量），只有一列的矩阵称为列矩阵。3）形如11121222000nnnnaaaaaa的矩阵称为上三角阵，形如1122000000nnaaa的矩阵称为对角阵，特别地100010001是单位阵。4）对于矩阵()ijmnAa，如果(1,2,1,2)ijjiaainjn，称A为对称阵。对称阵关于主对角线对称位置元素相等。2.矩阵的运算（1）矩阵线性运算1）加法运算：设(),()ijmnijmnAaBb，则A与B的和()ijijmnABab2）数乘运算：设()ijmnAa，k是一个常数，数k与A的数乘()ijmnkAka环球网校学员专用资料第2页/共4页数乘和加法运算统称为线性运算。3）运算规律交换律：ABBA，结合律：()()ABCABC结合律：()()klAklA，分配律：(),()klAkAlAkABkAkB（2）矩阵乘法1）定义：设(),(),ijmkijknAaBbA与B的乘积(),ijmnABc其中11221ijijijissjikkjkcabababab2）运算规律由定义知矩阵的乘法不满足交换律BAAB，但满足结合律：()()ABCABC分配律：(),()ABCABACBCABACA其它运算性质：()()()kAlBklAB，,,AEAEAAAOO3）方阵的幂：A为n阶方阵，称个nnAAAA为A的n次幂，且有,(),()(),()klklklklkTTkkkkAAAAAAAlAlA（3）矩阵的转置设()ijmnAa，称矩阵()jinma为矩阵A的转置矩阵，记为mnjiTaA)(。转置矩阵有如下性质：(),(),(),()TTTTTTTTTTAAkAkAABABABBA3.矩阵的初等变换1）交换矩阵两行（列）2）以数(0)k乘矩阵某一行（列）的所有元素3）矩阵某一行（列）的所有元素加上另一行（列）对应元素的k倍这三种变换称为矩阵的初等行（列）变换。初等行（列）变换统称为初等变换。【例题10-7】设A是3阶矩阵，矩阵A的第1行的2倍加到第2行，得矩阵B，则以下选项中成立的是：(A)B的第1行的-2倍加到第2行得A环球网校学员专用资料第3页/共4页(B)B的第1列的-2倍加到第2列得A(C)B的第2行的-2倍加到第1行得A(D)B的第2列的-2倍加到第1列得A解：由于矩阵B是将矩阵A的第1行的2倍加到第2行而得到，即矩阵B是由矩阵A经过一次初等行变换而得到，要由矩阵B得到矩阵A，只要对作上述变换的逆变换则可，即将B的第1行的-2倍加到第2行可得A，故应选(A)。4.逆矩阵（1）伴随矩阵设(),ijnnAa由A的行列式A的代数余子式构成的矩阵112111222212nnnnnnAAAAAAAAA称为A的伴随矩阵，记为*A。（2）可逆矩阵与逆矩阵1）定义：设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使ABBAE，则称A是可逆矩阵，B是A的逆矩阵。A的逆矩阵唯一，记为1A。【例题10-8】设BA,均为n阶矩阵，下列结论中正确的是（）。（A）若BA,均可逆，则BA可逆；（B）若BA,均可逆，则AB可逆；（C）若BA可逆，则BA可逆；（D）若BA可逆，则BA,均可逆解：由BA,均可逆，有0A和0B，所以0BAAB，故AB可逆，应选（B）。2）矩阵可逆的充分必要条件定理：设A为n阶方阵，则A可逆的充分必要条件为0A，且1*1AAA环球网校学员专用资料第4页/共4页3）逆矩阵的性质11()AA，111()(0)kAAkk，111()ABBA，11()()kkAATTAA)()(11，11AA4）求逆矩阵的方法：对矩阵(:)AE做初等行变换，目标是将A化为单位阵E，这时右边的单位阵也在做同样的初等变换，并且E同时化为A的逆矩阵。即1(:)(:)AEEA初等行变换。【例题10-9】设101012,203A则1A：(A)301412201(B)301412201(C)301412201(D)301412201解：101100012010~203001101100012010~001201100301010412001201，1301412201A，故选(B)。