公共基础数理化精讲班第一章高等数学二十四1534853907916

环球网校学员专用资料第1页/共5页第四节线性方程组1．线性方程组的概念（1)含有n个未知数12,,,nxxx的m个一次方程的方程组11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb（16-1）称为n个未知数m个方程的线性方程组，简称线性方程组.如果12,,,mbbb不全为零，则为非齐次线性方程组；如果120mbbb，即111122121122221122000nnnnmmmnnaxaxaxaxaxaxaxaxax（16-2）则称为齐次线性方程组。（2)矩阵形式:记111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa，12nxxxx，12mbbbb则方程组（16-1）和（16-2）可分别表示为Axb和0Ax，并称A为方程组的系数矩阵，AAb为方程组的增广矩阵。2．线性方程组有解判定条件（1）齐次线性方程组0Ax有非零解（这时必有无穷多解）的充要条件是其系数矩阵的秩()rAn。当A为方阵时，齐次线性方程组0Ax有非零解的充要条件是0A。【例题10-15】设B是3阶非零矩阵，已知B的每一列都是方程组1231231232202030xxxxxtxxxx的解，则t等于：(A)0(B)2(C)1环球网校学员专用资料第2页/共5页(D)1解：由B是非零矩阵，知所给齐次方程组有非零解，故其系数行列式应等于零，即122210311t，计算行列式并求解得1t，故选(D)。（2）非齐次线性方程组Axb有解的充要条件是)()(ArAr；当nArAr)()(时，Axb有无穷多解，当nArAr)()(时，Axb有唯一解。当A为方阵时，即Axb有惟一解的充分必要条件为0A（即A可逆），这时解为1xAb。3．线性方程组解的性质（1）若12,均为齐次线性方程组0Ax的解（向量），则1122kk仍然是0Ax的解。（2)若12,均为非齐次线性方程组Axb的解（向量），则12为对应的齐次线性方程组0Ax的解。（3)若*为非齐次线性方程组Axb的一个解,为对应的齐次线性方程组0Ax的解,则*是非齐次线性方程组Axb的解。（4)若s,,,21是非齐次线性方程组Axb的解，12,,,skkk为常数,且121skkk，则sskkk2211仍是Axb的解。4．线性方程组解的结构（1)齐次线性方程组的基础解系:若12,,,r是齐次线性方程组0Ax的线性无关的解，并且0Ax的任一解向量均可被12,,,r线性表出，则称12,,,r为0Ax的一组基础解系。齐次线性方程组的基础解系不惟一,但基础解系所含解向量的个数是固定的。（2)如果n个未知量的齐次线性方程组0Ax的系数矩阵的秩为rn，则它的基础解系含rn个解向量，且通解为rnrnkkkx2211其中12,,,nr为0Ax的一组基础解系，12,,nrkkk为任意常数。并且0Ax的任意rn个线性无关的解向量都能构成它的一组基础解系。环球网校学员专用资料第3页/共5页【例题10-16】设A为非零矩阵，12100,121都是齐次线性方程组0Ax的解，则矩阵A为：(A)011422011(B)201011(C)102011(D)211解：由于12100,121线性无关，知三元方程组0Ax的基础解系含两个向量，故有()1RA，显然选项（A）中矩阵秩为3，选项（B）和（C）中矩阵秩都为2，应选（D）。（3）非齐次线性方程组Axb的任一解，均可表示为Axb的一个特解与对应的齐次线性方程组0Ax的某个解之和。（4)若Axb有无穷多解，则其通解为对应rnrnkkkx2211*其中12,,,nr为0Ax的一组基础解系，12,,,nrkkk为任意常数。【例题10-17】设12,是线性方程组Axb的两个不同的解，12,是导出组0Ax的基础解系，12,kk是任意常数，则Axb的通解是：(A)1211212()2kk(B)1112212()()kk(C)1211212()2kk(D)1211212()2kk环球网校学员专用资料第4页/共5页解：首先Axb的通解是其导出组0Ax的通解加上Axb的一个特解，由12,是导出组0Ax的基础解系，知0Ax的基础解系含两个解向量，又可证明112和（）是0Ax的两个线性无关的解，故11212()kk构成0Ax的通解；再由12,是线性方程组Axb的两个不同的解，利用非齐次方程组解的性质知122仍是Axb的特解，从而1211212()2kk是Axb的通解，应选(C).5．线性方程组求解的方法【例题10-18】齐次线性方程组12413400xxxxxx的基础解系为：(A)12(1,1,1,0),(1,1,1,0)TT(B)12(2,1,0,1),(1,1,1,0)TT(C)12(1,1,1,0),(1,0,0,1)TT(D)12(2,1,0,1),(2,1,0,1)TT解：方法一：方程组系数矩阵11011011A的秩为2，方程组有非零解。并且其基础解系含有422个解向量，经验证1(1,1,1,0)T和2(1,0,0,1)T是方程组的解，并且线性无关，所以是方程组的基础解系，应选C。方法二：对方程组的系数矩阵A做初等行变换化为行最简型，即110111011011~~101101100110得同解方程13423xxxxx，令3142xCxC，写成向量形式则有12123411101001xxCCxx，所以1(1,1,1,0)T和2(1,0,0,1)T构成基础解系。环球网校学员专用资料第5页/共5页