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环球网校学员专用资料第1页/共2页第三节函数的连续性1．函数连续的概念（1）设函数)(xf在点0x的某邻域内有定义，若)()(lim00xfxfxx则称)(xf在点0x连续。若)()(lim00xfxfxx或)()(lim00xfxfxx，则称)(xf在点0x处右连续或左连续。（2）如果函数)(xf在开区间(,)ab内每一点都连续，则称)(xf在开区间(,)ab内连续。如果函数)(xf在(,)ab内连续，且在xa右连续，在xb左连续，则称)(xf在该闭区间[,]ab上连续。【例题2-9】要使得函数ln,0()1,1xxxfxxax在(0,)上连续，则常数a等于：(A)0(B)1(C)1(D)2解：由函数连续定义，111lnln1lim()limlim111xxxxxxafxx应选C。【例题2-10】已知0()lim0xfxx，且(0)1f，那么（）（A）()fx在0x处不连续（B）()fx在0x处连续（C）0lim()xfx不存在（D）0lim()1xfx解：由0()lim0xfxx，知0lim()xfx=0，而(0)1f，所以()fx在0x处不连续，故选A。（3）重要结论：基本初等函数在定义域内连续；初等函数在定义区间内连续2.间断点及其类型（1）函数不连续的点即为间断点。（2）间断点分为两类：第一类：在该点左右极限都存在。如果左右极限相等，称为可去间断点，这时改变或补充函数值，可使之连续；如果左右极限不相等，称为跳跃间断点。第二类：在该点左右极限至少有一个不存在。如果左右极限中有一个为无穷大，称为无穷间断点；如果在该点函数值振荡变化，称为振荡间断点。【例题2-11】点0x是1arctanyx的：环球网校学员专用资料第2页/共2页（A）可去间断点跳跃间断点（B）跳跃间断点（C）连续点（D）第二类间断点解：0011limarctan,limarctan22xxxx，左右极限存在但不相等，故0x是1arctanyx的跳跃间断点。答案：B【例题2-12】函数2()sinxxfxx可去间断点的个数为：(A)1(B)2(C)3(D)无穷多个解：函数()fx有无穷多个间断点0,1,2,x，22011limlimsinsinxxxxxxxx，而2lim(1,2,)sinxkxxkx，故()fx有二个可去间断点，应选(B)。3.闭区间上连续函数最值定理（1）最大、最小值定理：若)(xf在闭区间],[ba上连续，则)(xf一定在],[ba上取得最大值和最小值。（2）若)(xf在闭区间],[ba上连续，则)(xf一定在],[ba上一定有界。【例题2-13】下列命题正确的是：(A)分段函数必存在间断点(B)单调有界函数无第二类间断点(C)在开区间上连续的函数，则在该区间必取得最大值和最小值(D)在开区间上连续的函数一定有界。解：第二类间断点包括无穷间断点和震荡间断点，有界函数不可能有无穷间断点，单调函数不可能有震荡间断点，故单调有界函数无第二类间断点，应选(B)。分段函数可以不存在间断点，闭区间上连续的函数在该区间必取得最大值和最小值，在闭区间上连续的函数一定有界，故其它三个选项都是错误的。