公共基础数理化精讲班第一章高等数学八1531963567976

环球网校学员专用资料第1页/共4页2.函数的极值（1）定义：若函数()fx在点0x的某邻域内有定义，若对此邻域内任一点0()xxx，均有0()()fxfx，则称0()fx是函数()fx的一个极大值；若对此邻域内任一点0()xxx，均有0()()fxfx，则称0()fx是函数()fx的一个极小值。点0x称为极值点。（2）极值可疑点：我们将导数为零的点称为驻点。函数的驻点和导数不存在的点有可能会成为极值点，称这两种点为极值可疑点。【例题3-13】函数()sin()2fxx在区间[,]上的最小值点0x等于：(A)(B)0(C)2(D)解：当函数()sin()2fxx在区间[,]上变化时，对应sin()x在区间5[,]22上变化，而在该区间上，sin()x在点32x取得最小值1，故()sin()2fxx在点00x取得最小值，应选B。【例题3-14】函数23(5)yxx的极值可疑点的个数是：(A)0(B)1(C)2(D)3解：由2133325(2)(5)033xyxxxx，知故2x是驻点，0x是导数不存在点，故极值可疑点有两个，应选(C).（3）极值存在必要条件：如果函数()fx在点0x处导数存在，则函数在0x处取得极值的必要条件是0()0fx。（4）极值判别法：函数的极值可疑点也不一定都是极值点，对极值可疑点还需做进一步判别，有以下两种判别法。环球网校学员专用资料第2页/共4页第一判别法:设0()0fx，（或0()fx不存在），如果()fx在点0x左、右两侧变号，则0x为极值点；且在0x点两侧()fx的符号由正变负（由负边正），则)(0xf为极大值（极小值）。第二判别法设00()0,()0,fxfx若0)(0xf)(),0)((00xfxf则是极大值（极小值）。说明：极值是函数在局部范围的最大或最小，不一定是函数的最大或最小值。【例题3-15】设函数()fx在(,)ab内可微，且()0fx，则()fx在(,)ab内：A.必有极大值B.必有极小值C.必无极值D.不能确定有还是没有极值解析：由极值存在必要条件，如果()fx在(,)ab内可导且有极值，则在极值点必有()0fx。现有()fx在(,)ab内可微，故一定可导，又有()0fx，则()fx在(,)ab内必无极值。答案：C3.曲线的凹凸性与拐点（1）定义：设)(xf在),(ba内连续，),(21baxx、若1212()()()22xxfxfxf（或1212()()()22xxfxfxf），则称曲线)(xfy在),(ba内是凸（或凹）的。曲线)(xfy的凹弧与凸弧的分界点))(,(00xfx叫拐点。（2）判别法在),(ba内若()00fx（或），则曲线)(xfy在该区间上向上凹（向上凸）。若0()0fx或0()fx不存在，且在0x点两侧()fx变号，则（,0x))(0xf为曲线)(xfy的拐点。【例题3-16】当axb时，有0)(,0)(xfxf,则在区间(,)ab内，函数()yfx的图形沿x轴正向是:(A)单调减且凸的(B)单调减且凹的(C)单调增且凸的(D)单调增且凹的解:由0)(,0)(xfxf知，函数()yfx的图形沿x轴正向是单调增且凹的。环球网校学员专用资料第3页/共4页答案：D【例题3-17】曲线()xfxxe的拐点是：(A))2,2(2e(B))2,2(2e(C)),1(e(D)),1(1e解:()(1),()(2)xxfxexfxex，令0)(xf，解得2x，这时22ey。经验证，在2x附近两侧，()(2)xfxex变号，故)2,2(2e是拐点，应选A。【例题3-18】若()()fxfx),(,且在(,0)内有()0,()0fxfx,则在(0,)内必有:(A)0)(,0)(xfxf(B)0)(,0)(xfxf(C)0)(,0)(xfxf(D)0)(,0)(xfxf解:由于在(,0)内有()0,()0fxfx，)(xf单调增加，其图形为凸的。又函数)(xf在),(上是奇函数，其图形关于原点对称，故在(0,)内，)(xf应单调增加，且图形为凹的，所以有0)(,0)(xfxf，应选C。【例题3-19】对于曲线353151xxy,下列各性态不正确的是:(A)有3个极值点(B)有3个拐点(C)有2个极值点(D)对称原点环球网校学员专用资料第4页/共4页解:函数353151xxy在(,)处处可导，由22(1)0yxx,求得三个驻点1,0xx，在1x的两侧邻近一阶导数符号发生变化，故1x是极值点,而在0x两侧邻近一阶导数符号没发生变化，故0x不是极值点，因而曲线353151xxy有两个极值点，(A)选项是错的，应选(A)。再由22(21)0yxx,解得22,0xx，经判别这三个点都是是拐点的横坐标,故有3个拐点，(B)选项正确;函数353151xxy是奇函数,曲线关于原点对称,(D)选项也正确.