公共基础数理化精讲班第一章高等数学四1531878934453

环球网校学员专用资料第1页/共8页第2章函数、极限、连续第一节函数1．函数的概念（1）定义：设,xy是两个变量，D是给定的实数集，如果有一个对应法则f，使得对于每一个实数xD，变量y都有惟一确定的数值与之对应，则称变量y是变量x的函数，记为(),yfxxD其中x称为自变量，y称为函数。集合D称为该函数的定义域。当xD时，对应的y取值称为函数值，函数值的全体构成的集合称为该函数的值域。（2）函数的定义域是使得该函数有意义的实数全体，如果函数有实际意义，定义域由实际意义确定。（3）一元函数还可表为隐函数(,)0Fxy，和参数式()()xtyt。2.函数基本性质（1）单调性：如果函数()yfx对于区间I内的任意两点12xx，都有12()()fxfx或12(()())fxfx则称函数()yfx在区间,b（a）内单调增加（或单调减少）。（2）有界性：如果函数()yfx对于区间I内的一切x，都有()fxM其中M是一个正常数，则称函数()yfx在区间I内有界。在整个定义域内有界的函数称为有界函数。（3）奇偶性：如果函数()yfx对于区间,aa（）内的一切x，都有()()fxfx则称()yfx为偶函数；对于区间,aa（）内的一切x，都有()()fxfx则称()yfx为奇函数。环球网校学员专用资料第2页/共8页注：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。（4）周期性：如果函数()yfx对于定义域内的一切x，都有()()fxTfx则称函数()yfx为周期函数，T为函数的周期，实际中常指最小正周期。【例题2-1】设221()1xxefxe，则：(A)()fx为偶函数，值域为1,1（）(B)()fx为奇函数，值域为,0（）(C)()fx为奇函数，值域为1,1（）(D)()fx为奇函数，值域为,（0）解：222222111()()111xxxxxxeeefxfxeee，()fx为奇函数。又221()1xxefxe的定义域为,（），在定义域内，2222214()01(1)xxxxeefxee，故()fx是单增调的，又lim()1xfx,lim()1xfx，所以值域为1,1（），应选(C)【例题2-2】函数1sinyx是定义域内的：(A)有界函数(B)无界函数(C)单调函数(D)周期函数解：sinyx是有界函数，与1yx复合后仍是有界的。其余选项都不对，应选A。3.基本初等函数（1）基本初等函数：幂函数yx（为实数）指数函数xya（0,1aa）对数函数logayx（0,1aa），lnyx（ae）环球网校学员专用资料第3页/共8页三角函数sin,cos,tan,cotyxyxyxyx反三角函数arcsin,arccos,arctan,arccotyxyxyxyx（2）常用结论对数运算法则：logloglog,logloglogaaaaaaxxyxyxyy三角函数公式：222sin22sincos,cos2cossin2cos12211sin(1cos2),cos(1cos2)224.初等函数（1）函数的复合：设y是u的函数()yfu，而u又是x的函数()ux，如果对于()x的定义域中的某些x值所对应的u值，函数()yfu有定义，则y通过u的联系也是x的函数，称为由()yfu及()ux复合而成的函数，记为[()]yfx，其中u称为中间变量。例如：是由21,sin,yuuvvx这三个简单函数复合而成。（2）初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算、有限次复合步骤所构成，且可用一个式子表示的函数称为初等函数。第二节：极限1.数列的极限（1）定义：对于数列{}nu，如果当n无限增大时，通项nu无限趋近于某个确定的常数a，则称常数a为数列{}nu的极限。记为limnnua（2）结论：1）单调有界数列必有极限。2）收敛数列的任一子列都是收敛的。2.函数极限概念定义1：如果当x无限增大时，函数()fx无限趋近于某个确定的常数A，则称常数A为函数()fx环球网校学员专用资料第4页/共8页当x时的极限，记为lim()xfxA同理可定义当x时，函数()fx的极限，且有lim()lim()xxfxAfxA且lim()xfxA定义2：设函数()fx在0x的某去心邻域内有定义，当自变量x趋近0x时，函数()fx无限趋近于某个确定的常数A，则称常数A为函数()fx当0xx时的极限，记为0lim()xxfxA同理可定义当0xx和0xx时，函数()fx的极限，称为()fx在该点的左、右极限，且有Axfxx)(lim000(0)lim()xxfxfxA且0(0)fxAxfxx)(lim0【例题2-3】函数,31,4,10,2)(xxxxxf在1x时,)(xf的极限是:(A)2(B)3(C)0(D)不存在解：由3)(lim1xfx,2)(lim1xfx，)(xf在1x左右极限存在但不相等，故1x时,)(xf的极限不存在,应选(D).3.无穷小和无穷大（1)定义:无穷小：若0)(limxf，则称)(xf为对应极限过程下的无穷小量无穷大：若)(limxf，则称)(xf为对应极限过程下的无穷大量（2）无穷大与无穷小互为倒数关系。（3）无穷小的性质1）有限个无穷小的和（积）仍为无穷小；2）有界量与无穷小的乘积仍是无穷小。（讨论极限xxx1sinlim0）（4）无穷小比较如果当)(0xxx时，和都是无穷小，则环球网校学员专用资料第5页/共8页若0lim，是的高阶无穷小；若limC(0C为常数)，和是同阶无穷小；若1lim，和是等价无穷小，记为~。（5）等价无穷小代换1）如果当)(0xxx时，~,~则limlim2）当0x时，常用的等价无穷小有21sin~,tan~,1cos~,ln(1)~,1~2xxxxxxxxxex，sin~,tan~,(1)1~,1~lnxarcxxarcxxxxaxa【例题2-4】设2()1cos,()2xxxx，则当0x时，下列结论中正确的是：（A）()x与()x是等价无穷小（B）()x是()x的高阶无穷小（C）()x是()x低阶无穷小（D）()x与()x是同阶无穷小但不是等价无穷小解：因2001cossin1limlim244xxxxxx，故()x与()x是同阶无穷小但不是等价无穷小，应选(D).4．求极限的几个重要结论（1）两个重要极限11sinlim,1sinlim0xxxxxxexxx)11(lim，（ennn)11(lim）exxx10)1(lim环球网校学员专用资料第6页/共8页【例题2-5】下列极限计算中，错误的是：（A）2limsin12nnnxx（B）sinlim1xxx（C）110lim(1)xxxe（D）22)11(limexxx解:因为1lim0xx，而sinx是有界量，根据无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量，知sinlim0xxx，故sinlim1xxx错误，应选(B)。由于sin22limsinlim122nnnnnnxxxx利，知（A)选项是正确的。又111100lim(1){lim[(1()]},xxxxxxe222])11(lim[)11(limexxxxxx，知（C)和(D)选项都是正确的。（2）有理式的极限设110P()mmmmmxaxaxa，110()nnnnnQxbxbxb，1）当x时，如果0()0nQx，则000()()lim()()mmxxnnPxPxQxQx若0()0nQx且0()0mPx，则0()lim()mxxnPxQx；若0()0nQx且0()0mPx，则为未定式，可用罗比达法则或通过去零因子来求极限。2）当x时，有以下结论0,()lim,(),mxnmnmnPxmnQxamnb【例题2-6】若223lim(2)1xaxbxx，则a与b的值是：环球网校学员专用资料第7页/共8页(A)0,ba为任意实数(B)0,0ab；(C)1,8ab；(D)0,0ab解：由232223(2)1lim(2)lim11xxaxbxaxbxbxxx，分子的幂次必须高于分母的幂次，故有0,ba为任意实数，应选(A)。（3）罗必达法则当)(0xxx时，()0(),()0()fxFx；1）在点0x某去心邻域内（或当Nx时）)(xf及)(xF都存在且0)(xF；2）)()(limxFxf存在（或为无穷大），则)()(lim)()(limxFxfxFxf【例题2-7】求极限201sinlimsinxxxx时，下列各种解法中正确的是：（A）用罗比达法则后，求得极限为0（B）因为0sinlimxxx不存在，所以上述极限不存在（C）原式=01limsin0sinxxxxx（D）因为不能用罗比达法则，故极限不存在解:因为01limsin0xxx（无穷小与有界量的乘积），而0lim1sinxxx，01limsin010sinxxxxx，故应选（C）。由于2111(sin)2sincosxxxxx，当0x时极限不存在，故不能用罗比达法则，但求导后极限不存在不能得出原极限不存在，所以选项（A）和（D）都不对；又0sinlim1xxx，（B）选项错。【例题2-8】下列极限式中，能够使用洛必达法则求极限的是：A.01coslim1xxxeB.0sinlimsinxxxxC.201sinlimsinxxxxD.sinlimsinxxxxx环球网校学员专用资料第8页/共8页解析:利用洛必达法则,00sin1coslimlim0sincosxxxxxxx,故应选B.而01coslim1xxxe不是未定式；201sinlimsinxxxx是00型未定式，但分子分母分别求导后极限不存在；sinlimsinxxxxx是型未定式，分子分母分别求导后仍是型未定式，再次使用洛必达法则又回到原式。所以答案B.