总习题一

总习题一1在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内(1)数列{xn}有界是数列{xn}收敛的________条件数列{xn}收敛是数列{xn}有界的________的条件(2)f(x)在x0的某一去心邻域内有界是)(lim0xfxx存在的________条件)(lim0xfxx存在是f(x)在x0的某一去心邻域内有界的________条件(3)f(x)在x0的某一去心邻域内无界是)(lim0xfxx的________条件)(lim0xfxx是f(x)在x0的某一去心邻域内无界的________条件(4)f(x)当xx0时的右极限f(x0)及左极限f(x0)都存在且相等是)(lim0xfxx存在的________条件解(1)必要充分(2)必要充分(3)必要充分(4)充分必要2选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论设f(x)2x3x2则当x0时有()(A)f(x)与x是等价无穷小(B)f(x)与x同阶但非等价无穷小(C)f(x)是比x高阶的无穷小(D)f(x)是比x低阶的无穷小解因为xxxxxfxxxxxxxx13lim12lim232lim)(lim00003ln2ln)1ln(lim3ln)1ln(lim2ln00uuttut(令2x1t3x1u)所以f(x)与x同阶但非等价无穷小故应选B3设f(x)的定义域是[01]求下列函数的定义域(1)f(ex)(2)f(lnx)(3)f(arctanx)(4)f(cosx)解(1)由0ex1得x0即函数f(ex)的定义域为(0](2)由0lnx1得1xe即函数f(lnx)的定义域为[1e](3)由0arctanx1得0xtan1即函数f(arctanx)的定义域为[0tan1](4)由0cosx1得2222nxn(n012)即函数f(cosx)的定义域为[2,22nn](n012)4设000)(xxxxf000)(2xxxxg求f[f(x)]g[g(x)]f[g(x)]g[f(x)]解因为f(x)0所以f[f(x)]f(x)000xxx因为g(x)0所以g[g(x)]0因为g(x)0所以f[g(x)]0因为f(x)0所以g[f(x)]f2(x)0002xxx5利用ysinx的图形作出下列函数的图形(1)y|sinx|(2)ysin|x|(3)2sin2xy6把半径为R的一圆形铁片自中心处剪去中心角为的一扇形后围成一无底圆锥试将这圆锥的体积表为的函数解设围成的圆锥的底半径为r高为h依题意有R(2)2r2)2(Rr244)2(2222222RRRrRh圆锥的体积为244)2(312222RRV22234)2(24aR(02)7根据函数极限的定义证明536lim23xxxx证明对于任意给定的0要使|536|2xxx只需|x3|取当0|x3|时就有|x3|即|536|2xxx所以536lim23xxxx8求下列极限(1)221)1(1limxxxx(2))1(lim2xxxx(3)1)1232(limxxxx(4)30sintanlimxxxx(5)xxxxxcba10)3(lim(a0b0c0)(6)xxxtan2)(sinlim解(1)因为01)1(lim221xxxx所以221)1(1limxxxx(2))1()1)(1(lim)1(lim2222xxxxxxxxxxxx211111lim1lim22xxxxxx(3)2121211)1221(lim)1221(lim)1232(limxxxxxxxxxx21212)1221()1221(limxxxxexxxxx21212)1221(lim)1221(lim(4)xxxxxxxxxxxxxcos)cos1(sinlim)1cos1(sinlimsintanlim30303021)2(2limcos2sin2sinlim320320xxxxxxxxx(提示用等价无穷小换)(5)xcbacbaxxxxxxxxxxxxxxxcbacba3333010)331(lim)3(lim因为ecbaxxxcbaxxxx330)331(lim)111(lim3133lim00xcxbxaxcbaxxxxxxxx])1ln(1limln)1ln(1limln)1ln(1lim[ln31000vcubtavut3ln)lnln(ln31abccba所以3ln103)3(limabcecbaabcxxxxx提示求极限过程中作了变换ax1tbx1ucx1v(6)xxxxxxxxtan)1(sin1sin12tan2)]1(sin1[lim)(sinlim因为exxx1sin12)]1(sin1[limxxxxxxxcos)1(sinsinlimtan)1(sinlim2201sincossinlim)1(sincos)1(sinsinlim222xxxxxxxxx所以1)(sinlim0tan2exxx9设001sin)(2xxaxxxxf要使f(x)在()内连续应怎样选择数a?解要使函数连续必须使函数在x0处连续因为f(0)aaxaxfxx)(lim)(lim20001sinlim)(lim00xxxfxx所以当a0时f(x)在x0处连续因此选取a0时f(x)在()内连续10设01)1ln(0)(11xxxexfx求f(x)的间断点并说明间断点所属类形解因为函数f(x)在x1处无定义所以x1是函数的一个间断点因为0lim)(lim1111xxxexf(提示11lim1xx)1111lim)(limxxxexf(提示11lim1xx)所以x1是函数的第二类间断点又因为0)1ln(lim)(lim00xxfxxeexfxxx1lim)(lim1100所以x0也是函数的间断点且为第一类间断点11证明112111lim222nnnnn证明因为11211122222nnnnnnnnn且1111limlim2nnnnnn1111lim1lim22nnnnn所以112111lim222nnnnn12证明方程sinxx10在开区间)2,2(内至少有一个根证明设f(x)sinxx1则函数f(x)在]2,2[上连续因为2121)2(f22121)2(f0)2()2(ff所以由零点定理在区间)2,2(内至少存在一点使f()0这说明方程sinxx10在开区间)2,2(内至少有一个根13如果存在直线Lykxb使得当x(或xx)时曲线yf(x)上的动点M(xy)到直线L的距离d(ML)0则称L为曲线yf(x)的渐近线当直线L的斜率k0时称L为斜渐近线(1)证明直线Lykxb为曲线yf(x)的渐近线的充分必要条件是xxfkxxx)(lim),(])([lim),(kxxfbxxx(2)求曲线xexy1)12(的斜渐近线证明(1)仅就x的情况进行证明按渐近线的定义ykxb是曲线yf(x)的渐近线的充要条件是0)]()([limbkxxfx必要性设ykxb是曲线yf(x)的渐近线则0)]()([limbkxxfx于是有0])([limxbkxxfxx0)(limkxxfxxxfkx)(lim同时有0])([limbkxxfx])([limkxxfbx充分性如果xxfkx)(lim])([limkxxfbx则0])([lim])([lim)]()([limbbbkxxfbkxxfbkxxfxxx因此ykxb是曲线yf(x)的渐近线(2)因为212limlim1xxxexxxyk11)1ln(lim21)1(lim2]2)12[(lim]2[lim011ttexxexxybtxxxxx所以曲线xexy1)12(的斜渐近线为y2x1