总习题十

总习题十1填空(1)第二类曲线积分RdzQdyPdx化成第一类曲线积分是____________其中、、为有向曲线弧上点(xyz)处的_____________的方向角解dsRQP)coscoscos(切向量(2)第二类曲面积分RdxdyQdzdxPdydz化成第一类曲面积分是_______其中、、为有向曲面上点(xyz)处的________的方向角解dSRQP)coscoscos(法向量2选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论设曲面是上半球面x2y2z2R2(z0)曲面1是曲面在第一卦限中的部分则有________(A)xdSxdS14(B)xdSydS14(C)xdSzdS14(D)xyzdSxyzdS14解(C)3计算下列曲线积分(1)Ldsyx22其中L为圆周x2y2ax解L的参数方程为cos22aaxsin2ay(02)故dyxaxdsaxdsyxLL)()()(222022dada204204|2cos2|4)cos1(2422202022)coscos(|cos|4atdttdtadtta(2t这里令)(2)zds其中为曲线xtcostytsintzt(0tt0)解00221)cos(sin)sin(costdttttttttzds322)2(2320020tdttt(3)Lxdydxya)2(其中L为摆线xa(tsint)ya(1cost)上对应t从0到2的一段弧解20]sin)sin()cos1()cos2[()2(dttattatataaaxdydxyaL22022sinatdtta(4)dzxyzdydxzy2222)(其中是曲线xtyt2zt3上由听t1=0到t21的一段弧解10223264222]3221)[(2)(dttttttttdzxyzdydxzy351)32(1064dttt(5)Lxxdyyedxyye)2cos()2sin(其中L为上半圆周(xa)2y2a2y0沿逆时针方向解这里Pexsiny2yQexcosy222coscosyeyeyPxQxx令L1为x轴上由原点到(2a0)点的有向直线段D为L和L1所围成的区域则由格林公式1)2cos()2sin(LLxxdyyedxyyedxdyyPxQD)(22adxdyD1)2cos()2sin()2cos()2sin(2LxxLxxdyyedxyyeadyyedxyye22020adxaa(6)xyzdz其中是用平面yz截球面x2y2z21所得的截痕从z轴的正向看去沿逆时针方向解曲线的一般方程为zyzyx1222其参数方程为tztytxsin22,sin22,cost从0变到2于是tdttttxyzdzcos22cos22cos22cos20162cossin422022tdtt4计算下列曲面积分(1)222zyxdS其中是界于平面z0及zH之间的圆柱面x2y2R2解12其中221:yRxDxyRyR0zHdydzyRRdS22221:yRxDxyRyR0zHdydzyRRdS22于是22222222221zyxdSzyxdSzyxdSHRRDdzzRdyyRRdydzyRRzRxt02222222211212RHarctan2(2)dxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(222其中为锥面22yxz(0zh)的外侧解这里Py2zQz2xRx2y0zRyQxP设1为zh(x2y2h2)的上侧为由与1所围成的空间区域则由高斯公式0)()()()(2221dvzRyQxPdxdyyxdzdxxzdydzzy而dxdyyxdxdyyxdzdxxzdydzzy)()()()(22221140222024)sincos()(1hdrrddxdyyxh所以42224)()()(hdxdyyxdzdxxzdydzzy(3)zdxdyydzdxxdydz其中为半球面222yxRz的上侧解设1为xOy面上圆域x2y2R2的下侧为由与1所围成的空间区域则由高斯公式得dvzRyQxPzdxdyydzdxxdydz)(1332)32(33RRdv而00011dxdyzdxdyzdxdyydzdxxdydzxyD所以33202RRzdxdyydzdxxdydz(4)3222)(zyxzdxdyydzdxxdydz其中为曲面9)1(16)2(5122yxz(z0)的上侧解这里3rxP3ryQ3rzR其中222zyxr52331rxrxP52331ryrxQ52331rzrxR033)(3352352223rrrrzyxrzRyQxP设1为z0)19)1(16)2((22yx的下侧是由和1所围成的空间区域则由高斯公式0)()(32221dvzRyQxPzyxzdxdyydzdxxdydz32223222)()(1zyxzdxdyydzdxxdydzzyxzdxdyydzdxxdydz0)(0322dxdyyxxyD(5)xyzdxdy其中为球面x2y2z21(x0y0)的外侧解12其中1是221yxz(x2y21x0y0)的上侧2是221yxz(x2y21x0y0)的下侧xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy21dxdyyxxydxdyyxxyxyxyDD)1(12222103220221sincos212dddxdyyxxyxyD15212sin103220dd5证明22yxydyxdx在整个xOy平面除去y的负半轴及原点的区域G内是某个二元函数的全微分并求出一个这样的二元函数解这里22yxxP22yxyQ显然区域G是单连通的P和Q在G内具有一阶连续偏导数并且xQyxxyyP222)(2所以22yxydyxdx在开区域G内是某个二元函数u(xy)的全微分Cyxdyyxydxxyxydyxdxyxuyxyx)ln(211),(220221),()0,1(226设在半平面x0内有力)(3jiyxkF构成力场其中k为常数22yx证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关解场力沿路径L所作的功为dykydxkxWL33令3kxP3kyQ因为P和Q在单连通区域x0内具有一阶连续的偏导数并且xQxykyP53所以上述曲线积分所路径无关即力场所作的功与路径无关7求均匀曲面222yxaz的质心的坐标解这里222yxaz(xy)Dxy{(xy)|x2y2a2}设曲面的面密度为1由曲面的对称性可知0yx因为3222221adxdyadxdyzzyxazdSxyxyDyxD222421aadS所以2223aaaz因此该曲面的质心为)2,0,0(a8设u(xy)、v(xy)在闭区域D上都具有二阶连续偏导数分段光滑的曲线L为D的正向边界曲线证明(1)LDDdsnuvdxdyvuudxdyv)(gradgrad(2)LDdsnuvnvudxdyuvvu)()(其中nu、nv分别是u、v沿L的外法线向量n的方向导数符号2222yx称为二维拉普拉斯算子证明设L上的单位切向量为T(cossin)则n(sincos)(1)LLLdsxuvyuvdsyuxuvdsnuv]sincos[)cossin(dxdyyuvyxuvxD)]()([dxdyyuvyuyvxuvxuxvD)(2222dxdyyuxuvdxdyyuyvxuxvDD)()(2222udxdyvudxdyvDDgradgrad所以LDDdsnuvdxdyvuudxdyv)(gradgrad(2)dxdyyuxuvyvxvudsnuvnvuLL)]cossin()cossin([)(dxdyxuvxvuyuvyvuL]sin)(cos)[(dxdyyuvyvuyxuvxvuxD)]()([dxdyyuvyuyvyvuyvyuxuvxuxvxvuxvxuD)(22222222dxdyuvvudxdyyuxuvyvxvuDD)()]()([222222229求向量Axiyjzk通过闭区域{(xyz)|0x10y10z1}的边界曲面流向外侧的通量解设为区域的边界曲面的外侧则通量为dvzRyQxPzdxdyydzdxxdydz)(33dv10求力Fyizjxk沿有向闭曲线所作的功其中为平面xyz1被三个坐标面所截成的三角形的整个边界从z轴正向看去沿顺时针方向解设为平面xyz1在第一卦部分的下侧则力场沿其边界L(顺时针方向)所作的功为LxdzzdyydxW曲面的的单位法向量为)coscos,(cos)1,1,1(31n由斯托克斯公式有dSxzyzyxWcoscoscos233sin)2(2133)111(312dSdS