总习题十一

总习题十一1填空(1)对级数1nnu0limnnu是它收敛的________条件不是它收敛的________条件解必要充分(2)部分和数列{sn}有界是正项级数1nnu收敛的________条件解充分必要(3)若级数1nnu绝对收敛则级数1nnu必定________若级数1nnu条件收敛则级数1||nnu必定________解收敛发散2判定下列级数的收敛性(1)11nnnn解因为11lim11limnnnnnnnn而调和级数11nn发散故由比较审敛法知级数发散(2)1222)!(nnn解因为222221lim)!(2)1(2])!1[(limlimnnnnnuunnnnn故由比值审敛法知级数发散(3)1223cosnnnn解因为nnnnn223cos212121lim2limnnnnnnn所以由根值审敛法级数12nnn收敛由比较审敛法级数1223cosnnnn收敛(4)110ln1nn解因为nnnunnn10lnlim1lim而调和级数11nn发散故由比较审敛法知原级数发散提示xxxxxxxxxxxxxx11lim!101lnlim!101lnlim1011ln101limlnlim9910(5)1nsnna(a0s0)解因为ananasnnnsnn)(limlim故由根值审敛法知当a1时级数收敛当a1时级数发散当a1时原级数成为11nsn这是ps的p级数当s1时级数收敛当s1时级数发散3设正项级数1nnu和1nnv都收敛证明级数12)(nnnvu与收敛证明因为1nnu和1nnv都收敛所以0limnnu0limnnv又因为0)2(lim2lim2nnnnnnnnvuuvuu0limlim2nnnnnvvv所以级数12)2(nnnnvuu和级数12nnv都收敛从而级数12122)(])2[(nnnnnnnnvuvvuu也是收敛的4设级数1nnu收敛且1limnnnuv问级数1nnv是否也收敛？试说明理由解级数1nnv不一定收敛当1nnu和1nnv均为正项级数时级数1nnv收敛否则未必例如级数11)1(nn收敛但级数1]11)1[(nnn发散并且有11)1(11)1(limnnnn5讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性(1)11)1(npnn解111|1)1(|npnpnnn是p级数故当p1时级数11npn是收敛的当p1时级数11npn发散因此当p1时级数11)1(npnn绝对收敛当0p1时级数11)1(npnn是交错级数且满足莱布尼茨定理的条件因而收敛这时是条件收敛的当p0时由于01)1(limpnnn所以级数11)1(npnn发散综上所述级数11)1(npnn当p1时绝对收敛当0p1时条件收敛当p0时发散(2)1111sin)1(nnnn解因为1111|1sin)1(|nnnn而级数111nn收敛故由比较审敛法知级数|1sin)1(|111nnnn收敛从而原级数绝对收敛(3)11ln)1(nnnn解因为1ln)11ln(lim1lnlim1|1ln)1(|limennnnnnnnnnnn而级数11nn发散故由比较审敛法知级数|1ln)1(|1nnnn发散即原级数不是绝对收敛的另一方面级数11ln)1(nnnn是交错级数且满足莱布尼茨定理的条件所以该级数收敛从而原级数条件收敛(4)11)!1()1(nnnnn解令1)!1()1(nnnnnu因为11)11(112lim)1(12lim)!1()1()!2(lim||||lim121ennnnnnnnnnnuunnnnnnnnnn故由比值审敛法知级数|)!1()1(|11nnnnn收敛从而原级数绝对收敛6求下列级限(1)nkkknkn12)11(311lim解显然nkkknks12)11(31是级数12)11(31nnnn的前n项部分和因为13)11(31lim)11(31lim2ennnnnnnn所以由根值审敛法级数12)11(31nnnn收敛从而部分和数列{sn}收敛因此01lim)11(311lim12nnnkkknsnkn(2)])2(842[lim312719131nnn解nnnn327392313127191312)2(842显然nnns32739231是级数13nnn的前n项部分和设11)(nnnxxS则210)1(1]111[][])([)(xxxdxxSxSnnx因为43)311(131)31(31)31(3132111Snnnnnn所以43limnns从而4331271913122lim])2(842[limnnsnnn7求下列幂级数的收敛域(1)153nnnnxn解51)53(5)53(31lim53153lim||lim111nnnnnnnnnnnnnnnaa所以收敛半径为51R因为当51x时幂级数成为]1)53[(11nnn是发散的当51x时幂级数成为]1)53[()1(1nnnn是收敛的所以幂级数的收敛域为)51,51[(2)12)11(nnnxn解nnnxnu2)11(因为||||)11(lim||limxexnunnnnn由根值审敛法当e|x|1即exe11时幂级数收敛当e|x|1时幂级数发散当ex1时幂级数成为1)1()11(2nnnen当ex1时幂级数成为1)1()11()1(2nnnnen因为21)1ln(lim11)11ln(lim])11ln([lim2022tttxxxxxxtxx所以0lim)1()11(lim21)11ln(22eeennnnnnnn因此级数1)1()11()1(2nnnnen和1)1()11(2nnnen均发散从而收敛域为)1,1(ee(3)1)1(nnxn解unn(x1)n因为|1||1|1lim||lim1xxnnuunnnn根据比值审敛法当|x1|1即2x0时幂级数收敛当|x1|1时幂级数发散又当x0时幂级数成为1nn是发散的当x2时幂级数成为1)1(nnn也是发散的所以幂级数的收敛域为(20)(4)122nnnxn解nnnxnu22因为221121221lim||limxxnnuunnnnnn根据比值审敛法当1212x即22x时幂级数收敛当1212x时幂级数发散又当2x时幂级数成为1nn是发散的所以收敛域为)2,2(8求下列幂级数的和函数(1)1)1(2212nnnxn解设幂级数的和函数为S(x)则])2(2[]21[])([)(1121120nnnnnxxxxdxxSxS)12()2(2]2112[22222xxxxx即)22()2(2)(222xxxxS(2)112112)1(nnnxn解设幂级数的和函数为S(x)则)1(arctan11)1()()(202012210xxdxxxdxxSxSxxnnnx因为当x1时幂级数收敛所以有S(x)arctanx(1x1)(3)1)1(nnxn解设幂级数的和函数为S(x)则])1()[1()1()1()1()(1111nnnnnnxxxnxxnxS)1|1(|)2(1])1(11)[1(])1()1)[(1(211xxxxxxxxxnn即)20()2(1)(2xxxxS(4)1)1(nnnnx解易知幂级数的收敛域为[11]设幂级数的和函数为S(x)则当x0时111)1(11)1(1)(nnnnxnnxxnnxSdxdxxxdxxnxxxnnxnn][111001101dxxxdxdxxxxxx000)1ln(1]11[1)]1ln()1ln([1xxxxx)1ln(11xxxx[10)(01]又显然S(0)0因此00]1,0()0,1[)1ln(11)(xxxxxxS9求下列数项级数的和(1)12!nnn解11112!!)1(!)1(!nnnnnnnnnnnnnnn因为nnxxne1!1两边求导得11!nnxxnne再求导得22!)1(nnxxnnne因此xxnnnnnnnnnneexxnnxnnnxxnnxnnnxnn221221112!!)1(!!)1(!从而eSnnn2)1(!12(2)0)!12(1)1(nnnn解000)!12(1)1(21)!12(12)1(21)!12(1)1(nnnnnnnnnnn1sin211cos21)!12(1)1(21)!2(1)1(2100nnnnnn提示012)!12(1)1(sinnnnxnx02)!12(12)1(cosnnnxnnx10将下列函数展开成x的幂级数(1))1ln(2xx解xxdxxdxxxxx0202211])1[ln()1ln(因为122122!)!2(!)!12()1(1)1(11nnxnnxx|x|1故1122)12(!)!2(!)!12()1()1ln(nnnxnnnxxx(1x1)(2)2)2(1x解02])2([21)211(21)21()2(1nnxxxx111012]21[nnnnnnxnx(2x2)11设f(x)是周期为2的函数它在[)上的表达式为),0[)0,[0)(xexxfx将f(x)展开成傅里叶级数解11)(100edxedxxfaxnnxnanenxdxen