总习题十二

总习题十二1填空(1)xy2x2y2x3yx41是______阶微分方程解是3阶微分方程(2)若M(xy)dxN(xy)dy0是全微分方程则函数M、N应满足______解xNyM(3)与积分方程xxdxyxfy0),(等价的微分方程初值问题是______解方程两边对x求导得yf(xy)显然当xx0时y0因此与积分方程等价的微分方程初值问题是yf(xy)0|0xxy(4)已知y1、yx、yx2是某二阶非齐次线性微分方程的三个解则该方程的通解为______解容易证明非齐次线性微分方程的任意两个解的差是对应齐次线性微分方程的的解因此y1x1和y2x21都是对应齐次线性微分方程的的解显然y1与y2是线性无关所以非齐次线性微分方程的通解为yC1(x1)C2(x21)12求以下列各式所表示的函数为通解的微分方程(1)(xC)2y21(其中C为任意常数)解将等式变形21yCx两边对x求导得211yyy从而1y2y2y2即所求微分方程为y2(1y2)1(2)yC1exC2e2x(其中C1、C2为任意常数)解两边对x求导得yC1ex2C2e2xyC2e2x即yyC2e2x(1)再求导得yy2C2e2x(2)(2)(1)2得y2yy2y即所求微分方程为y3y2y03求下列微分方程的通解(1)xyyyx2解将方程变形为xyxyy1212即xyxy121)(其通解为)(1)1(2121CxxCdxexeydxxdxx即原方程的通解为xCxy2)((2)xylnxyax(lnx1)解将方程变形为)ln11(ln1xayxxy其通解为)ln(ln1])ln11([ln1ln1CxaxxCdxexaeydxxxdxxx即原方程的通解为xCaxyln(3))(ln2xyydxdy解将方程变形为yyxydydxln22其通解为)21ln(1)ln2(22222CyyyyCdyeyyexdyydyy即原方程的通解为221lnyCyx(4)033yxxydxdy解将方程变形为3231xxydxdyy即32222)(xxydxyd其通解为)())2([22222322CeexeCdxexeyxxxxdxxdx即原方程的通解为1222xCeyx(5)022yxxdyydxydyxdx解因为)2(22yxdydyxdx2222)(11yxdyydxyxyxxdyydx)(arctan)()(112yxdyxdyx所以原方程可写成0)arctan22(22yxyxd从而原方程的通解为Cyxyxarctan222(6)yyy210解令yp则dydppy原方程化为012pdydpyp或ypydypd22)(22其通解为1)()2(222222CyCyyCdyeyepdyydyy于是12Cyy即dxyCdy1)(21(CC12)积分得2211)1)(ln(CxyCyC化简得原方程的通解)(ch121CxCy(7)y2y5ysin2x解齐次方程y2y5y0的特征方程为r22r50其根为r1212i因为f(x)sin2xi2i不是特征方程的根所以非齐次方程的特解应设为y*Acos2xBsin2x代入原方程得(A2B)cos2x(B4A)sin2xsin2x比较系数得174A171Bxxy2sin1712cos174*因此原方程的通解为xxxCxCeyx2sin1712cos174)2sin2cos(21(8)yy2yx(ex4)解齐次方程yy2y0的特征方程为r3r22r0其根为r10r21r32齐次方程yy2y0的通解为yC1C2exC3e2x原方程中f(x)f1(x)f2(x)其中f1(x)xexf2(x)4x对于方程yy2yxex因为1是特征方程的根故其特解可设为y1*x(AxB)ex代入yy2yxex得(6Ax8A3b)exxex比较系数得61A94B故xexxy)9461(*1对于方程yy2y4x因为0是特征方程的根故其特解可设为y2*x(CxD)代入yy2y4x得4Cx2C2D4x比较系数得C1D1故y2*x(x1)因此原方程的通解为xxexxeCeCCyxxx222321)9461((9)(y43x2)dyxydx0解将原方程变形为323yxydydxx或32226)(yxydyxd其通解为)(])2([266362CyyCdyeyexdyydyy即原方程的通解为x2y4Cy6(10)yxxy2解令yxu2则yu2x2xdxduudxdy22故原方程化为uxdxduu2即21)(21uxdxdu这是齐次方程因此令zxu则uxzdxdzxzdxdu则上述齐次方程化为2121zdxdzxz即)112(21zzdxdzx分离变量得xdxzzzdz21122积分得123ln21)132ln(61Cxzz即2z33z21Cx3)(16CeC将xuz代入上式得2u33xu2x3C再代入yxu2得原方程的通解Cxyxyx32)(23324求下列微分方程满足所给初始条件的特解(1)y3dx2(x2xy2)dy0x1时y1解原方程变形为2322xyxydydx即31222yxydydxx或31122)(yxydyxd其通解为)ln2(1)2(22321CyyCdyeyexydyy即原方程的通解为y2x(2lnyC)由y|x11得C1故满足所给初始条件的特解为y2x(2lny1)(2)yay20x0时y0y1解令yp则原方程化为02apdxdp分离变量得adxpdp2两边积分得11Caxp即11Caxy代入初始条件y(0)1得C11故11axy方程两边积分得2)1ln(1Caxay代入初始条件y(0)0得C20因此满足所给初始条件的特解为)1ln(1axay(3)2ysin2y0x0时2yy1解令yp则原方程化为02sin2ydydpp分离变量得2pdpsin2ydy两边积分得122cos21Cyp代入初始条件y(0)1得211C因而yyy22sin212cos21即ysiny分离变量得dxydysin两边积分得2cos1cos1ln21Cxyy代入初始条件2)0(y得C20因此满足所给初始条件的特解为yyxcos1cos1ln21(4)y2yycosxx0时y023y解齐次方程y2yy0的特征方程为r22r10其根为r121齐次方程y2yy0的通解为y(C1C2x)ex因为f(x)cosxii不是特征方程的根所以非齐次方程的特解应设为y*AcosxBsinx代入原方程得2Asinx2Bcosxcosx比较系数得A021B故xysin21*从而原方程的通解为xexCCyxsin21)(21将初始条件代入通解得23210211CCC解之得C10C21因此满足所给初始条件的特解为xxeyxsin215已知某曲线经过点(11)它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标求它的方程解设点(xy)为曲线上任一点则曲线在该点的切线方程为Yyy(Xx)其在纵轴上的截距为yxy因此由已知有yxyx即11yxy这是一个一阶线性方程其通解为)ln(])1([11CxxCdxeeydxxdxx即方程的通解为yx(Clnx)由于曲线过点(11)所以C1因此所求曲线的方程为yx(1lnx)6已知某车间的容积为30306m3其中的空气含012%的CO2(以容积计算)现以含CO2004%的新鲜空气输入问每分钟应输入多少才能在30min后使车间空气中CO2的含量不超过006%?(假定输入的新鲜空气与原有空气很快混合均匀后以相同的流量排出)解设每分钟应输入的空气为am3t时刻车间中CO2的浓度为x(t)则车间中CO2的含量(以体积计算)在t时刻经过dtmin的改变量为30306dx00004adtaxdt分离变量得dtadxx54000004.01由于x00004故两边积分得Ctaxln5400)0004.0ln(即taCex54000004.0由于开始时车间中的空气含012%的CO2即当t0时x00012代入上式得C00008因此taex54000008.00004.0由上式得0008.0004.0ln5400xta由于要求30min后车间中CO2的含量不超过006%即当t30时x00006将t30x00006代入上式得a180ln4250因为054000008.05400taex所以x是a的减函数考试当a250时可保证x00006因此每分钟输入新鲜空气的量不得小于250m37设可导函数(x)满足1sin)(2cos)(0xtdttxxx求(x)解在等式两边对x求导得(x)cosx(x)sinx2(x)sinx1即(x)tanx(x)secx这是一个一阶线性方程其通解为)sec()(tantanCdxxeexxdxxdxcosx(tanxC)sinxCcosx在已知等式中令x0得(0)1代入通解得C1故(x)sinxcosx8设函数uf(r)222zyxr在r0内满足拉普拉斯(Laplace)方程0222222zuyuxu其中f(r)二阶可导且f(1)f(1)1试将拉普拉斯方程化为以r为自变量的常微分方程并求f(r)解因为rxzyxxxr22222所以)()(rfrxxrrfxu)()()()(22322222rfrxrfrxrxrrfrxrfrxrxrxu同理可得)()(2232222rfryrfryryu)()(2232222rfrzrfrzrzu于是)()(3222232222222222rfrzyxrfrzyxrzuyuxu22322)()(2druddrdurrfr