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第一章流体力学基础1.3流体流动的基本方程1.3.3运动方程即又微元系统内流体的质量不随时间而变，即D(dm)/Dt=0，于是（1-49）直角坐标系下的三个分量式分别为：一．作用在微元流体系统上的力第1.1节中已讲到，作用在流体上的所有外力可以分为质量力和表面力两种，分别用FB和FS表示，于是，对微元系统有：（1-51）（1-52）单位质量流体的质量力为，故（1-53）__________________________________________________________________________________________*所谓系统是指包含着固定不变物质的集合。系统以外的一切则称为环境，二者的分界称为边界。边界可以是真实的表面，也可以是假想的表面。通过边界，系统可以与环境进行能量交换，也可以受到系统以外物质施加的力，但没有质量交换。如果选取系统来研究流体流动过程，就是将着眼点放在每个流体微团上，即追随着流体质点来研1.3.3.1运动方程的推导对任一流动系统*而言均遵循着动量定理。现任取一微元六面体流动系统，如图1-18所示，其质量为dm=rdxdydz，则动量定理可以表述为：微元系统内流体的动量随时间的变化率等于作用在该微元系统上所有外力之和。即（1-48） （1-50）流体流动规律，这样可以了解每一个流体微团的位置变化和力学关系，从而，由流体微团组成的整个流体的运动状况也就清楚了。这种研究方法称为拉格朗日法。流动过程中所遵循的各种物理定律，如质量守恒定律、动量定理、能量守恒定律等都是针对系统而建立的，图1-19微元六面体的受力图或写成（1-54）微元六面体上各个面上的表面力受力情况如图1-19所示。每个面上均有三个应力分量，一个法向应力和两个切向应力，六个面共计18个应力，其大小标于图上。于是，微元系统在x方向上所有表面力之和为：（1-55）类似地，y、z方向上所有表面力之和分别为：（1-56）（1-57）可统一表示为：（1-58）将作用在微元系统上的质量力与表面力代入式1-52中得：二．运动方程将式1-59代入式1-50中，并除以dxdydz得：写成矢量式为：（1-61）这就是以应力形式表示的粘性流体的微分动量衡算方程，亦称为运动方程。 （1-59） （1-60） 三．奈维-斯托克斯方程1．应力与形变速率之间的关系---本构方程流体质点受到应力作用将发生形变，因此应力大小与流体的形变速率之间必存在着一定的关系。这种关系称为本构方程。（1）剪应力与形变速率之间的关系前已述及，对一维层流流动的牛顿型流体，牛顿粘性定律成立，即（1-18）上式即为一维层流流动时的剪应力tyx与剪切形变速率dvx/dy之间的关系。对于三维层流流动，剪应力与形变速率之间的关系较为复杂，本书不作推导，感兴趣的读者可参阅有关流体力学专著，下面只将最后结果列出：1-62）（2）法向应力与形变速率之间的关系可以认为，法向应力由两部分组成：压应力和法向粘性应力，即（1-63）压应力p在数值上可认为等同于热力学中的压力，其作用的结果使流体发生体积形变，而粘性应力作用的结果则使流体在法向方向承受拉伸或压缩，发生线性形变。各法向应力与形变速率之间的关系为[1]：式1-62和式1-64又称为牛顿型流体的本构方程。不适用于非牛顿型流体。根据式1-63，应力张量tij也可写成如下形式：P￠称为偏应力张量，是应力除去压力项后得到的张量。由式1-62及式1-64可知，P￠与流体粘性有关。2．奈维-斯托克斯方程（N-S方程）将本构方程代入式1-60中并整理得：上式即为直角坐标系下牛顿型粘性流体的奈维-斯托克斯方程，简称N-S方程。（1-64） （1-65） 令(1-66) （1-67a） （1-67b） （1-67c）对不可压缩流体，有：（1-42）代入式1-67中得：其矢量形式为：（1-69）式1-69是不可压缩粘性流体的N-S方程。等式左边r(Dv/Dt)项代表惯性力项，右边m?2v项代表粘性力项。若引入广义压力G将质量力和压力合写为：（1-70）式中FBM指单位质量流体的质量力，r为矢径，。于是（1-71）将上式代入式1-69中，则N-S方程变为：（1-72）式中将不出现质量力项。这在某些场合下较为方便。将上述矢量式在直角坐标系下展开为：附：柱坐标系和球坐标系下的不可压缩流体的N-S方程表达式如下：1．柱坐标系r分量：(1-74a)q分量：(1-74b)z分量：(1-74c)应力与形变速率的关系为：2．球坐标系 (1-68) (1-73) (1-75)四．欧拉方程对于粘度为零的流体（称为理想流体），其运动方程则可简化为：（1-78）此式称为欧拉（Euler）方程，是理想流体力学的基本方程。其在直角坐标系下分量式为：（1-79）1.3.3.2N-S方程的若干解理论上，通过求解连续性方程、运动方程以及流体的状态方程f(r，p，T)=0等5个方程组成的偏微分方程组，再结合具体过程的初始条件和边界条件，可获得速度场、压力场和密度场。但事实上，由于方程组中含有非线性项，如vx(vx/x）、r(vx/t）等，使求解过程十分困难。到目前为止，只有极少数几个简单问题得到了解析解。例如：（1）对于某些特定的流动问题，N-S方程中若干项将等于零，从而使方程大大简化，由偏微分方程组转化为一个常微分方程。典型的例子是圆管内的层流流动问题、环隙内流体层流流动问题等，此时可得到其精确解。（2）当方程中的某些项相对于其它项可以略去不计时，也可使N-S方程简化而求出其近似解。例如，对于Re1的极慢流动（又称爬流），惯性力相对于粘性力来说可以略去不计，此时方程的求解就简单很多。（3）对于雷诺数很大的实际流体绕物体的流动，可以将流体分为两个区域，一个是靠近壁面的边界层区域（指壁面附近速度变化较大的区域），另一个是边界层以外的外流区域（指速度变化很小的区域）。外流区域的流体可以看作理想流体，而用欧拉方程来计算。至于边界层内的流动，则可根据边界层理论对N-S方程进行若干简化而求其近似解。 (1-76a)分量： (1-76b)分量： (1-76c)应力与形变速率的关系为： (1-77)对于复杂流体流动问题，可采用数值流体力学的方法求解。数值流体力学不仅可解决层流问题，而且已成功应用于解决许多湍流问题。读者可参阅有关专著。下面我们将就第（1）种情况举几个例子介绍N-S方程的应用。流体不可压缩，Dr/Dt=0，流动稳定，/t=0，圆管内层流属一维流动，vr=vq=0，且流动轴向对称，/q=0。将以上诸条件代入不可压缩流体柱坐标系下的连续性方程（式1-46）和N-S方程（式1-74）中化简得：（1-80）由/q=0和式1-80可知vz只是r的函数，G只是z的函数。因此可将上式中最后一个表达式中的偏微分写成常微分，即：(1-81）经过上述简化，非线性的N-S方程转化成了常微分方程。式的左边是z的函数，而右边是r的函数，根据数理方程的基本知识，只有两侧同时等于一常数时该式才成立，即：=常数设管长L内广义压力降为DG=G1-G2，则：对上式进行两次积分可得通解为：（1-82）边界条件：r=R（圆管半径）时，v=0；r=0时，v为有限值。将边界条件代入式1-82得积分常数为：c1=0，于是，不可压缩流体在圆管内稳定层流时的速度分布方程为：（1-83）对比式1-83、1-84可得v与vmax之间的关系为：（1-85）平均流速（1-86）通过以上推导得到了圆管内层流时的速度分布，由此可以进一步求算出工程上有着十分重要意义的阻力系数。阻力系数又称范宁因子，用f表示，其定义为：1．圆管内的稳定层流在化工工业生产中经常遇到不可压缩流体在圆管内的稳定层流流动，如图1-20所示。对圆管内的流动，采用柱坐标系下的方程最为方便。可见，速度分布为抛物线，如图1-21所示。当r=0时，即在管中心处，v达到最大，由式1-83得：(1-84) （1-87）式中tw为壁应力。由牛顿粘性定律可知，圆管内层流时：（1-88）代入式1-87中化简得：（1-89）式中d为管的直径，Re=dur/m对管道流动问题，工程上也常用摩擦因数l表示阻力系数，l=4f，于是（1-90）式1-89、式1-90适用范围为Re=dur/m≤2000。上述N-S方程求解结果，无论在速度分布，还是平均流速、阻力系数等方面均与实验结果十分吻合。以上推导采用了广义压力概念，故管子无论倾斜放置还是水平放置，上述结果均适用将以上条件代入不可压缩流体柱坐标系下的连续性方程，得：，又因/z=0，可见vq只是r的函数。化简式1-74b，考虑到vq只是r的函数，故可将式中的偏微分写成全微分，得：对上式积分两次，得：边界条件为：；代入上式得积分常数为：，于是，速度分布方程为：根据式1-75，外圆筒内壁所受到的剪应力：若圆筒长为L，则外圆筒内壁上所受到的扭矩M为：(1-91)由此可见，扭矩M与角速度w、流体粘度m成正比。若已知套筒的几何尺寸，通过实验再测出扭矩M、角速度w值，则由上式可计算得到被测流体粘度m。这就是双圆筒粘度计（又称旋转粘度计）的测量原理。例1-420℃水以0.1m/s的平均速度流过内径d=0.01m的圆管，试求1m长的管子壁上所受到的2．环隙内流体的周向运动如图1-22所示，两同心套筒内充满不可压缩流体，内筒静止，外筒以恒定角速度w旋转，则套筒环隙间的流体将在圆环内作稳定周向流动。设外管内径为R2，内管外径为R1。由于流动稳定，/t=0。设圆筒很长，忽略端面效应，故vz=0，/z=0。又流动为一维的，vr=0，且流动周向对称，/q=0。 流体摩擦力大小。解首先确定流型。查附录得20℃水的物性为：r=998.2kg/m3，m=1.005cP=1.005×10-3Pa×s，于是可见属层流流动。由式1-88得：N/m21m长管子所受的总的摩擦力N返回目录上一页化工原理网络教程下一页