空间曲线及其方程

设有两块曲面S1,S2,它们的方程依次为:S1:F(x,y,z)=0S2:G(x,y,z)=0S1,S2的交线C上的点一定同时满足这两个方程,而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程.因此0),,(0),,(zyxGzyxF即为交线C的方程,称为空间曲线C的一般方程.(2)xyzoS1S2C二、空间曲线及其方程1.空间曲线的一般方程x2+y2=1x+y+z=2.yxz0例5:柱面x2+y2=1与平面x+y+z=2的交线是一个圆,它的一般方程是2.空间曲线的参数方程将曲线C上动点的坐标x,y,z都表示成一个参数t的函数.x=x(t)y=y(t)(3)z=z(t)当给定t=t1时,就得到C上一个点(x,y,z),随着t的变动便可得曲线C上的全部点.方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.例6:如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度绕z轴旋转,同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中,v都是常数),那末点M构成的图形叫做螺旋线,试建立其参数方程.解:取时间t为参数,设当t=0时,动点位于x轴上的一点A(a,0,0)处,经过时间t,由A运动到M(x,y,z),M在xOy面上的投影为M(x,y,0).xyzhAOMtM(1)动点在圆柱面上以角速度绕z轴旋转,所以经过时间t,AOM=t.从而x=|OM|·cosAOM=acosty=|OM|·sinAOM=asint(2)动点同时以线速度v沿z轴向上升.因而z=MM=vt得螺旋线的参数方程x=acosty=asintz=vt注:还可以用其它变量作参数.xyzAOMtMyxzAOMtM例如:令=t.为参数;螺旋线的参数方程为:x=acosy=asinz=b.vb这里当从0变到0+是,z由b0变到b0+b,即M点上升的高度与OM转过的角度成正比.特别,当=2时,M点上升高度h=2b,h在工程上称h=2b为螺距.3.空间曲线在坐标面上投影设空间曲线C的一般方程F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0(4)由方程组(4)消去z后得方程H(x,y)=0(5)方程(5)表示一个母线平行于z轴的柱面,曲线C一定在柱面上.xyzooC空间曲线C在xOy面上的曲线必定包含于:投影H(x,y)=0z=0注:同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.例7:已知两个球面的方程分别为:x2+y2+z2=1和x2+(y1)2+(z1)2=1求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程.解:联立两个方程消去z,得01)21(4222zyx1)21(4222yx两球面的交线C在xOy面上的投影曲线方程为椭圆柱面设一个立体由上半球面和锥面224yxz)(322yxz所围成,求它在xoy面上的投影.解:半球面与锥面的交线为)(34:2222yxzyxzC由方程消去z,得x2+y2=1yxzOx2+y21于是交线C在xoy面上的投影曲线为x2+y2=1z=0这是xoy面上的一个圆.所以,所求立体在xoy面上的投影为:x2+y21例8:圆柱面)(研究方法是采用平面截痕法.§6二次曲面的标准方程1.定义由x,y,z的二次方程:ax2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j=0所表示的曲面,称为二次曲面.其中a,b,…,i,j为常数且a,b,不全为零.c,d,e,fzoxyO2用平面z=k去截割(要求|k|c),得椭圆kzckbyax2222221当|k|c时,|k|越大,椭圆越小;当|k|=c时,椭圆退缩成点.2.几种常见二次曲面.(1)椭球面1用平面z=0去截割,得椭圆012222zbyax1222222Czbyax3类似地,依次用平面x=0,平面y=0截割,得椭圆:,012222xczby.012222yczax特别:当a=b=c时,方程x2+y2+z2=a2,表示球心在原点o,半径为a的球面.(2)椭圆抛物面:zbyax22221平面z=k,(k0)截割,截线是平面z=k上的椭圆.kzkbyax2222k=0时,为一点O(0,0,0);随着k增大,椭圆也增大.zyxo2用平面y=k去截割,截线是抛物线,2222kyzbkax.,022axzk为时当3类似地，用平面x=k去截割,截线是抛物线.kxzbyak2222.,022byzk为时当一、二阶行列式的概念设有数表a11称数a11a22－a12a21为对应于数表(1)的二阶行列式，记为：(1)22211211aaaa副对角线主对角线1.定义1a12a21a2221122211aaaa(＋)(－)§1n阶行列式的定义当a11a22－a12a210时，,211222111222211aaaaababx211222112111122aaaaababx得唯一解对于a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2(1)2、二元一次方程组的求解公式记1D2DD方程组(1)的解可以表示为：,DDx11DDx22——克莱姆(Gramer)法则(2),122221abab,211112abab22211211aaaa时02212aa21bb2111aa21bb,211222111222211aaaaababx211222112111122aaaaababxa11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2引进记号：333231232221131211aaaaaaaaa(+)(+)(+)(－)(－)(－)312312aaa322113aaa312213aaa332112aaa322311aaa称为对应于数表(3)的三阶行列式D332211aaa二、三阶行列式1.定义2设有数表333231232221131211aaaaaaaaa(3)主对角线副对角线例如：315214132511753125)2()3(14134)3(1)2(2－易证：对于线性方程组333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa(4)当333231232221131211aaaaaaaaaD时0方程组有唯一解，记则方程组(4)的解为：,DDx11,DDx22DDx33,3332232213121aaaaaaD321bbb,3331232113112aaaaaaD321bbb3231222112113aaaaaaD321bbb——克莱姆法则三、排列与逆序数1由自然数1,2,…,n组成的一个有序数组i1,i2,…,in称为一个n级排列。例如，由1，2，3可组成的三级排列共有3!＝6个，它们是n级排列的总数为n!个。定义3321;123;132;213;231;312;2一个排列中，若较大的数is排在较小的数it的前面(isit)时，称这一对数isit构成一个逆序。一个排列中逆序的总数，称为它的逆序数。记为(i1,i2,…in)，简记为。132(123)=0,(312)=2,(45213)=7,例如：213312(3)逆序数为偶数的排列称为偶排列逆序数为奇数的排列称为奇排列(4)将一个排列中两个位置上的数互换，而其余不动，则称对该排列作了一次对换。653124623154(=11)(=8)12341432例如：(=0)(=3)定理1每一个对换改变排列的奇偶性结论：在n(2)级排列中，奇偶排列各有个。2!n四、n阶行列式的定义分析：333231232221131211aaaaaaaaaD312312322113332211aaaaaaaaa332112322311312213aaaaaaaaa=0=2=2=3=1=1)(321)1(jjj321321jjjaaa类似地：22211211aaaaD21122211aaaa2121211jj)j(jτaa)(nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnnjjjjjjaaa212121)()1(n阶行列式定义4例1计算下列n阶行列式nnaaaD2211100nnaaa2211nnnnaaaaaaD2122211120nnaaa2211nnnnnnnnaaaaaaD11212130)1()121(nn1121nnnaaa12)2()1(nn)1(2)11(nnnnnnnnnnaaaaaaD11212130)1()121(nn1121nnnaaa11212)1()1(nnnnnaaa333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa322113aaa312312aaa312213aaa322311aaa332112aaa行排列列排列213(=1)132(=1)(=0)123(=2)312考察：2113aa1321aa3232aa定理2n阶行列式的定义也可写成D)(21)1(niiiniiinaaa2121nnjijijiaaa2211)1()(21niii)(21njjj推论：D例2：选择i和k，使53254321aaaaaki成为5阶行列式中一个带负号的项解:其列标所构成的排列为：i52k3若取i=1，k＝4，故i=4，k=1时该项带负号。可将给定的项改为行标按自然顺序，即53432251aaaaaki则(15243)=4，是偶排列，该项则带正号，对换1，4的位置，则45213是奇排列。一、行列式的性质性质1：将行列式的行、列互换，行列式的值不变即：,DD=DT行列式DT称为行列式D的转置行列式。§2行列式的性质则naaa11211naaa22221nnnnaaa21naaa11211TDnaaa22221nnnnaaa21证：显然有bij=aji(i,j=1,2,…;n)则nnnjjjjjjTbbbD212121)()1(njjjjjjnnaaa21)(2121)1(D设行列式DT中位于第i行，第j列的元素为bij性质2互换行列式的两行(列)，行列式仅改变符号,2111211nnnnnaaaaaaMqnqqaaa21pnppaaa21则D=－M,2111211nnnnnaaaaaaDqnqqaaa21pnppaaa21证：在M中第p行元素,aajqjp第q行元素,jpjqaan.,,,j21nnnjjjjaaM111)()1(pjqjppjaqjqannnjjjjaa111)()1(pjqjqpjapjqannnjjjjaa111)()1(pjqjqpjapjqannnjjjjaa111)()1(pjqjqpjapjqa—=–D推论1：若行列式中有两行(列)对应元素相同，则行列式为零。证明:交换行列式这两行，有D=－D，故D=0性质3若行列式某一行(列)的所有元素都乘以数k，等于该行列式乘以数k，即：kDnnnniniinaaaaaaaaa212111211knnnnnaaaaaa2111211iniikakaka211D证明：推论2：若行列式中的某行(列)全为零，则行列式为零。推论3：若行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则该行列式为零。ninnj