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§8.4空间直线及其方程ü直线的一般方程ü直线的参数方程和对称方程ü两直线的夹角ü直线与平面的夹角xyzo1P2P定义空间直线可看成两平面的交线．0:11111=+++PDzCyBxA0:22222=+++PDzCyBxAîíì=+++=+++0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程L一、空间直线的一般方程注：表示同一直线的一般方程不唯一。确定空间直线的条件•由两个平面确定一条直线；•由空间的两点确定一条直线；•由空间的一点和一个方向来确定一条直线。xyzo方向向量的定义：srL,),,(0000LzyxMÎ设定点0M×M×,),,(LzyxMÎsMMr0//},,,{pnms=r},,{0000zzyyxxMM---=二、空间直线的参数方程与对称式方程},,{},,{000pnmtzzyyxx=---则如果一非零向量平行于一条已知直线L，向量称为直线L的方向向量．srsr直线的对称式方程pzznyymxx000-=-=-ïîïíì+=+=+=ptzzntyymtxx000直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦.直线的参数方程消去参数t，有注：1.表示同一直线的对称方程不唯一；2.对称式方程可转化为一般方程;4.任一条直线均可表示为对称式方程.),,(),,,(222111zyxNzyxM设直线过两点}{121212,,zzyyxxs---=r则121121121zzzzyyyyxxxx--=--=--直线的对称方程为：pzznyyxx0000.3-=-=-ïîïíì-=-=.,000pzznyyxx理解为:例1用对称式方程及参数方程表示直线.043201îíì=++-=+++zyxzyx解在直线上任取一点),,(000zyx取10=x,063020000îíì=--=++Þzyzy解得2,000-==zy点坐标),2,0,1(-因所求直线与两平面的法向量都垂直取21nnsrrr´=},3,1,4{--=对称式方程,321041-+=--=-zyx参数方程.3241ïîïíì--=-=+=tztytx例2一直线过点)4,3,2(-A，且和y轴垂直相交，求其方程.解因为直线和y轴垂直相交,所以交点为),0,3,0(-B取BAs=r},4,0,2{=所求直线方程.440322-=+=-zyx定义直线:1L,111111pzznyymxx-=-=-直线:2L,222222pzznyymxx-=-=-22222221212121212121||),cos(pnmpnmppnnmmLL++×++++=^两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）两直线的夹角公式三、两直线的夹角两直线的位置关系：21)1(LL^,0212121=++ÜÞppnnmm21)2(LL//,212121ppnnmm==ÜÞ直线:1L直线:2L},0,4,1{1-=sr},1,0,0{2=sr,021=×ssrrQ,21ssrr^\例如，.21LL^即例3一直线L过点(-3,2,5)，且和直线îíì=--=-15234zyxzx平行，求其方程.解\所求直线方程.153243-=-=+zyx}1,3,4{51240121-=---=´=kjinnsvvvrrrQ方法2:设},,{pnms=v13405204,21pnmpnmpmnsns==Þîíì=--=-\^^vvvvQ}1,3,4{=sv取………例4一直线过点M0(2,1,3)，且与直线L:12131-=-=+zyx垂直相交，求其方程.取}4,1,2{10-==MkMsr所求直线方程.431122-=--=-zyx解设所求直线为l,先求两直线的交点。LlM1M0过点M0做平面垂直于直线L：3x+2y-z=5代入平面方程的参数方程：ïîïíì-=+=+-=tztytxL2131Q所以交点为M1(2/7,13/7,-3/7)定义直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角．j,:000pzznyymxxL-=-=-,0:=+++PDCzByAx},,,{pnms=r},,,{CBAn=rjjp+=2),(nsrr^jp-=2),(nsrr^四、直线与平面的夹角££j0.2p222222||sinpnmCBACpBnAm++×++++=j直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系：P^L)1(.pCnBmA==ÜÞPL)2(//.0=++ÜÞCpBnAm().cosj+=2p()jj-=cossin2p例5设直线:L21121+=-=-zyx，平面:P32=+-zyx，求直线与平面的夹角.解},2,1,1{-=nr},2,1,2{-=sr222222||sinpnmCBACpBnAm++×++++=j96|22)1()1(21|×´+-´-+´=.637=637arcsin=\j为所求夹角．称为平面束。全部平面组成的平面族定义：通过一条直线的îíì=+++=+++0022221111DzCyBxADzCyBxAL：0)()(2222211111=+++++++DzCyBxADzCyBxALll束为的全部平面组成的平面则过直线不同时为零。，21ll0)()(,1222211111=+++l++++=lDzCyBxADzCyBxAL的面束为则过直线五、平面束例6解.401284,0405:角的平面方程组成且与平面求过直线p=+--îíì=+-=++zyxzxzyx过已知直线的平面束方程为,0)4(5=+-+++zxzyxl,04)1(5)1(=+-+++lllzyx即}.1,5,1{ll-+=nr其法向量}.8,4,1{--=nr又已知平面的法向量由题设知114cosnnnnrrrr×=p222222)1(5)1()8()4(1)8()1()4(51)1(llll-+++-+-+-×-+-×+×+=,2723222+-=ll即由此解得.43-=l代回平面束方程为.012720=-++zyx例7解.1243:,12:)1,1,1(210LxzxyLxzxyLM都相交的直线且与两直线求过点îíì-=-=îíì-==将两已知直线方程化为参数方程为ïîïíì-=-==ïîïíì-===1243:,12:21tztytxLtztytxL的交点分别为与设所求直线21,LLL).12,43,()1,2,(222111---tttBtttA和,,)1,1,1(0三点共线与BAMQ).(00为实数故llBMAM=即有,,00对应坐标成比例于是BMAM,1)12(1)1(1)43(1211212121----=---=--tttttt,0,021==tt解之得)3,2,2(),1,0,0(BA-\,)3,2,2()1,1,1(0上同在直线和点LBMQ的方程为故L.211111-=-=-zyx异面直线间的距离六、点到直线的距离及。到直线的距离计算点直线外一点，直线的方向向量直线过dpPsP001,r0P1PQLsrddsPPsrr=´01ssPPdrr´=Þ01异面直线间的距离212122)(ssssPPdrrrr´´×=Þ另法:做一法向量21ssnvvv´=过直线L1做平面p,则法向量为21ssnvvv´=2L直线故平面p∥，点P2到平面p的距离就是d.dssssppv212112)(rrrr´=´×=1sr21PP2sr1P2PL1L2nr离。异面，并求其间最短距：证明直线例îíì=+++=--+îíì=--+=--+0422022:,02201821zyxzyxLzyxzyxL}{,1,1,01121111--=--=kjisrrrrQ证：}{,0,3,62211212-=-=kjisrrrr)1,1,1(1P），，（2002-P=´´×=\212121)(ssssPPdvvvv.13}2,2,1{}3,1,1{=-×例9求直线L:11111--==-zyx在平面012:=-+-pzyx上的投影直线L1的方程。经过L且垂直于p的平面p1的法线向量为}2,3,1{2111111--=--=´=kjinsnvvvvvv又因为p1经过L，故经过L上的点（1，0，1），所以p1:,0)1(2)0(3)1(=-----zyx0123=+--zyx即îíì=+--=-+-.0123,012zyxzyx∴L1的方程:解L的方向向量为s={1,1,-1}，p的法线向量为n={1,-1,2}的公垂线方程。：与直线求直线例zyxLzyxL=-=+-==-02110123:1021L1L2L}{}{}{1,2,11,0,10,1,2--=´=sLr的方向向量解：}{}{}{5,2,10,1,21,2,1111-=´--=ÕnLLr，确定一平面与}{}{}{2,2,21,0,11,2,1222--=´--=ÕnLLr，确定一平面与0)2()1(:0)1(52)3(:21=--++Õ=-+--Õ\zyxzyxîíì=--+=-+-Þ010852zyxzyx公垂线：思考题在直线方程pznymx+-==-6224中，m、n、p各怎样取值时，直线与坐标面xoy、yoz都平行.思考题解答},6,,2{pnms+=r且有.0rr¹s,0=×ksrrQ,0=×isrrîíì==+Þ0206mp,0,6=-=\mp,0rrQ¹s,0¹\n故当时结论成立．,0=m6-=p,0¹n练习一、填空题1.与两直线及ïîïíì+=+-==tztyx211112211-=+=+zyx都平行，且过原点的平面0=+-zyx[注]所求平面的法线向量n和两直线的方向中向量都垂直，故n={1,－1,1}2.过点M（1，2，－1）且与直线ïîïíì-=-=+-=1432tztytx垂直的平面方程是————。043=+--zyx[注]已知直线的方向向量s={-1,3,1}，所求平面的法线向量n//s，故取n=s建立点法式方程即可。3.已知两条直线的方程是11122:,130211:21zyxLzyxL=-=+--=-=-则过L1且平行于L2的平面方程是——————023=++-zyx[注]所求平面的法线向量n={1,0,－1}×{2,1,1}={1,－3,1}0)4(21=-++-zxyLl的平面束为：过}{}{01121=×\，，，，ll31-=Þl[注]所求平面的法线向量取n={2,2,－3}4.设一平面经过原点及点（6，－3，2），且与平面4x－y+2z=8垂直，则此平面方程为——————0322=-+zyx},2,3,6{},2,1,4{-^-^nn二、选择题1.设有直线182511:1+=--=-zyxL与îíì=+=-326:2zyyxL则L1与L2的夹角为6)A(p4)B(p3)C(p2)D(p[注]L1和L2的方向向量分别为和}1,2,1{1-=s},2,1,1{2--=s3,21||||/cos2121pqq==×=ssss2.设有直线îíì+--=+++31020123:zyxzyxL及平面,0224:=-+-zyxp则直线L（C）（A）平行于π（B）在π上（C）垂直于π（D）与π相交[注]L的方向向量和π的法线向量平行。