《线性代数》题库及答案

第1页共11页《线性代数》题库及答案一、选择题1．如果D=333231232221131211aaaaaaaaa，则行列式33323123222113121196364232aaaaaaaaa的值应为：A．6DB．12DC．24DD．36D2．设A为n阶方阵，R（A）=rn,那么：A．A的解不可逆B．0AC.A中所有r阶子式全不为零D.A中没有不等于零的r阶子式3．设n阶方阵A与B相似，那么：A．存在可逆矩阵P，使BAPP1B．存在对角阵D，使A与B都相似于DC．EBEAD．BA4．如果3333231232221131211aaaaaaaaaD，则131211332332223121333231323232aaaaaaaaaaaa等于A．6B．-9C．-3D．-65．设矩阵nmijaA)(，mn,且R（A）=r,那么：A．rmB．rnC．A中r阶子式不为零D．A的标准型为0E，其中E为r阶单位阵。6．A为n阶可逆矩阵，是A的一个特征根，则A的伴随矩阵A的特征根之一是：A．nA1B．AC．A1D．nA7．如果050403zykxzyzkyx有非零解，则k应为：____________。A．k=0B．k=1C．k=2D．k=-28．设A是n阶方阵，3n且2)(nAR，A是A的伴随阵，那么：___________。第2页共11页A．0AB．()0RAC．1nAAD．2)(AR9．设A为nm矩阵，齐次线性方程组0AX仅有零解的充要条件是：A．A的列向量线性无关B．A的列向量线性相关C．A的行向量线性相关D．A的行向量线性相关10．如果02020zykxzkyxzkx有非零解，则k应为：________。A．0kB．1kC．2kD．2k11．下列命题正确的是___________。A．TTTBAAB)(B．若BA则BAC．设A、B为三角形矩阵，则A+B为三角矩阵D．))((22EAEAEA12．矩阵A、B相似的充要条件是____________。A．A与B有相同的特征值B．A与B相似于同一矩阵C．A与B有相同的特征向量D．kA形似于kB二、填空题1．行列式与它的转置行列式的值是__________。2．矩阵nmA的K阶子式共有___________;3．n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有__________________________________;4．行列式的某行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值______________。5．设11334221tA，B为三阶非零矩阵，且0AB，则t=________________。6．A、B为n阶方阵，若存在可逆矩P，使_________则称A与B相似。7．__________________001n。8．若矩阵11012321kA的2)(AR，则____________k。第3页共11页9．若方程组000321321321xxxxxxxxx仅有零解，则应满足的条件是_______________。10．设多项式xxxxxf212111)(则)(xf中3x的系数等于_________，2x的系数等于_________。11．已知)3,2,1(，)1,2,3(，且与k正交，则k____________。12．设A是3阶方阵，且3||A，则行列式|3|1A=（）13．矩阵315021001A,443112112013B,则AB的秩是）（14．设0004300002000010A，则1A=）（15若线性方程组414343232121axxaxxaxxaxx有解，则常量4321,,,aaaa应满足条件___________。16.设4阶方阵，),,,(),,,,(43214321BAAABAAAAA其中44321,,,,BAAAA都是四元列向量，已知2,1BA,则行列式BA2=()17已知矩阵A=PQ,其中121P,Q=)2,1,2(,则矩阵)(100A18.设100230211A,026328421421B,则秩)(AB=()三、证明题1．设A是三阶方阵，A是A的伴随矩阵，A的行列式为,41A求证：21)2(AAA．2．已知A为n阶方阵，且0432EAA，试证A可逆，并求1A。第4页共11页3．已知A，B均为n阶正交矩阵，且BA，证明：0BA。4向量组rnrn020210100,,,,是方程组(*)的线性无关解向量。5rn,,,,210的一切线性组合rnrnkkkk221100，其中10rnjjk，是方程组(*)的全部解四、计算题1．已知n阶方阵A、B，其中),,(n21A),(Bn21，,3B,1A求3BA。2．矩阵012423321A求1A.3．设三阶方阵ijaA的每行元素之和均为3，且0AB，其中021021B，问（1）A能否与对角矩阵相似？（2）求A。4．计算n阶行列式abbababaD000000000000000005．矩阵121011322A，求1A。6．已知矩阵52134131aA的特征多项式有重根，问：参数a取何值时，A能与对角矩阵相似？7．计算1110110110110111D第5页共11页8．矩阵111012112A求1A9．设三阶方阵A满足01A，2122A，32133A，其中：T0,1,11，T1,1,02，T1,0,13（1）证明：A能与对角矩阵相似。（2）求出A及相似对角矩阵∧。10．设三阶行列式满足023EA，,0EA024AE，计算A。11．求向量组3211，1012，1223，4224的一个最大线性无关组，并将其正交化。12．设121121aaaA若A不能与对角矩阵相似，求参数a。13计算n阶行列式nDn1113111214计算题求齐次线性方程组0742420436240203543215432143215421xxxxxxxxxxxxxxxxxx的基础解系及通解。15、计算n阶行列式nDnnnxaaaxaaax212121，其中niaxii1,16、计算题第6页共11页求矩阵X，使得112011111011220111X《线性代数》作业参考答案一、选择题1．D2．B3．A4．D5．B6．C7．B8．B9．A10．C11．D12．B二、填空题1．相等2．;knkmCC3．n个线性无关的特征向量；4．不变5．t=-36．BAPP17．nnn212)1()1(8．1k9．1且210．2，-211．k=7512．04321aaaa第7页共11页13.-9；14.3；15.03100302100201410001A16.81；17.212424212299；18.2；三、证明题1．证：由题设A是三阶方阵，41A，223131111)41(1)41()41(4121)2(AAAAAAAAA。2．证：由0432EAA，即：EAA432EEAA4)3(EEAA)4341(即A可逆，且EAA43411。3．证：由题设：EAAAATTEBBBBTT所以2()()TTTTTABBBABAABBAABBAAAAB即：0)1(2BAA只有0BA证毕。4．因rniAbAi,,2,1,0,0，则,bAi因此rn,,,,210是方程组(*)的线性无关解。设,0221100rnrn则,0)(2211010rnrnrn两边左乘A得，,0)(10brn有,010rn于是,02211rnrn可得rn,,,,210线性无关。5．显然rnrnkkkk221100是解；另一方面，设为任一rnrnrnrnrnkkkkkkkk22110122110)](1[四、计算题1．解：n2114,4,33BA),3,,(4,,34n21n21`1nn2111n=1n1n2)91(4。第8页共11页2．解：1012423321A，A的代数余子式：4,5,5,6,3,7,8,43332232221131211AAAAAAAA45756823413323133222123121111AAAAAAAAAAAAA3．解：（1）令20110122，则),(21B，由题设0AB，既有0,021AA，这表示21,是A的属于特征值0的特征向量。取;)1,1,1(3T由题设A的每行元素之和为3，则333A即A3是的特征值为3的特征向量，又01102110121，故321，，线性无关。这表示3阶方阵有3个线性无关的特征向量，所以A能与对角矩阵相似。（2）由（1）令),,(321P，P可逆，且3000000001APP3126312631261421321213000000001021101213000000001PPA4．解：nnnbaD1)1(（按第一列展开）5．解：1121011322A求伴随矩阵AA的代数余子式：4A,3A,3A,6A,5A,4A,1A,1A,1A333231232221131211461351341A)1(AAA1第9页共11页6．解：计算A的特征多项式：)108)(2(52134131)(2aaAEf由题设)(f=0有重根，故分两种情况：（1）2是重根，则ag108)(2含有)2(因子，0)2(g)6()2()(2f得a=2,此时可得出1)2(AER，所以属于)2(的特征向量的重数3-1=2,加之特征根6的特征向量，A有3个线性无关的特征向量，故此时A能与对角矩阵相似。（2）2不是重根，则a1082是完全平方项，由此得a=6,此时2)4)(2()(f即