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2012年10月真题讲解一、前言学员朋友们，你们好！现在，对《全国2012年10月高等教育自学考试概率论与数理统计（经管类）试题》进行必要的分析，并详细解答，供学员朋友们学习和应试参考。三点建议：一是在听取本次串讲前，请对课本内容进行一次较全面的复习，以便取得最佳的听课效果；二是在听取本次串讲前，务必将本套试题独立地做一遍，以便了解试题考察的知识点，与以及个人对课程全部内容的掌握情况，有重点的听取本次串讲；三是，在听取串讲的过程中，对重点、难点的题目，应该反复多听几遍，探求解题规律，提高解题能力。一点说明：本次串讲所使用的课本是2006年8月第一版。二、考点分析1.总体印象对本套试题的总体印象是：内容比较常规，有的题目比较新鲜，个别题目难度稍大。内容比较常规：①概率分数偏高，共74分；统计分数只占26分，与今年7月的考题基本相同，以往考题的分数分布情况稍有不同；②除《回归分析》仅占2分外，对课本中其他各章内容都有涉及；③几乎每道题都可以在课本上找到出处。如果粗略的把题目难度划分为易、中、难三个等级，本套试题容易的题目约占24分，中等题目约占60分，稍偏难题目约占16分，包括计算量比较大额题目。2.考点分布按照以往的分类方法：事件与概率约18分，一维随机变量（包括数字特征）约22分，二维随机变量（包括数字特征）约30分，大数定律4分，统计量及其分布6分，参数估计6分，假设检验12分，回归分析2分。考点分布的柱状图如下三、试题详解选择题部分一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。1.已知事件A，B，A∪B的概率分别为0.5，0.4，0.6，则P（A）=A.0.1B.0.2C.0.3D.0.5[918150101]【答案】B【解析】因为，所以，而，所以，即；又由集合的加法公式P（AB）=P（A）+P（B）-P（A∪B）=0.5+0.4-0.6=0.3，所以＝0.5－0.3＝0.2，故选择B.[快解]用Venn图可以很快得到答案：【提示】1.本题涉及集合的运算性质：（i）交换律：A∪B=B∪A,AB=BA；（ii）结合律：（A∪B）∪C=A∪（B∪C）,（AB）C=A（BC）；（iii）分配律：（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C），（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）；（iv）摩根律（对偶律）,.2.本题涉及互不相容事件的概念和性质：若事件A与B不能同时发生，称事件A与B互不相容或互斥，可表示为A∩B＝，且P（A∪B）=P（A）+P（B）.3.本题略难，如果考试时遇到本试题的情况，可先跳过此题，有剩余时间再考虑。2.设F（x）为随机变量X的分布函数，则有A.F（-∞）=0，F（+∞）=0B.F（-∞）=1，F（+∞）=0C.F（-∞）=0，F（+∞）=1D.F（-∞）=1，F（+∞）=1[918150102]【答案】C【解析】根据分布函数的性质，选择C。【提示】分布函数的性质：①0≤F（x）≤1；②对任意x1，x2（x1x2），都有P{x1X≤x2}=F（x2）-F（x1）；③F（x）是单调非减函数；④，；⑤F（x）右连续；⑥设x为f（x）的连续点，则F‘（x）存在，且F’（x）=f（x）.3.设二维随机变量（X，Y）服从区域D：x2+y2≤1上的均匀分布，则（X，Y）的概率密度为A.f（x，y）=1B.C.f（x，y）=D.[918150103]【答案】D【解析】由课本p68，定义3－6：设D为平面上的有界区域，其面积为S且S0.如果二维随机变量（X,Y）的概率密度为，则称（X,Y）服从区域D上的均匀分布.本题x2+y2≤1为圆心在原点、半径为1的圆，包括边界，属于有界区域，其面积S=π，故选择D.【提示】课本介绍了两种二维连续型随机变量的分布：均匀分布和正态分布，注意它们的定义。若（X,Y）服从二维正态分布，表示为（X,Y）～.4.设随机变量X服从参数为2的指数分布，则E（2X－1）=A.0B.1C.3D.4[918150104]【答案】A【解析】因为随机变量X服从参数为2的指数分布，即λ=2，所以；又根据数学期望的性质有E（2X-1）=2E（X）-1=1-1=0，故选择A.【提示】1.常用的六种分布（1）常用离散型随机变量的分布：X01概率qpA.两点分布①分布列②数学期望：E（X）=P③方差：D（X）=pq。B.二项分布：X～B（n,p）①分布列：，k=0，1，2，…，n；②数学期望：E（X）=np③方差：D（X）=npqC.泊松分布：X～P（λ）①分布列：，k=0，1，2，…②数学期望：E（X）=λ③方差：D（X）＝λ（2）常用连续型随机变量的分布A.均匀分布：X～U[a,b]①密度函数：,②分布函数：，③数学期望：E（X）＝,④方差：D（X）＝.Ｂ.指数分布：X～E（λ）①密度函数：,②分布函数：，③数学期望：E（X）＝,④方差：D（X）＝.C.正态分布（A）正态分布：X～N（μ,σ2）①密度函数：，－∞x＋∞②分布函数：③数学期望：E（X）＝μ,④方差：D（X）＝σ2，⑤标准化代换：若X～N（μ,σ2），，则Y～N（0,1）.（B）标准正态分布：X～N（0,1）①密度函数：，－∞x＋∞②分布函数：，－∞x＋∞③数学期望：E（X）＝0,④方差：D（X）＝1.2.数学期望的性质①E（c）=c，c为常数；②E（aX）=aE（X），a为常数；③E（X+b）=E（X）+b，b为常数；④E（aX+b）=aE（X）+b，a，b为常数。5.设二维随机变量（X，Y）的分布律则D（3X）=A.B.2C.4D.6[918150105]【答案】B【解析】由已知的分布律，X的边缘分布律为X12P2/31/3则，；根据方差的性质有D（3X）=9D（X）=2，故选择B.【提示】（1）离散型随机变量的方差：定义式:；计算式：D（X）=E（X）2-[E（X）]2（2）方差的性质①D（c=0），c为常数；②D（aX）=a2D（X），a为常数；③D（X）+b）=D（X），b为常数；④D（aX+b）=a2D（X），a，b为常数。6.设X1，X2，…，Xn…为相互独立同分布的随机变量序列，且E（X1）=0，D（X1）=1，则A.0B.0.25C.0.5D.1[918150106]【答案】C【解析】不等式等价于不等式，由独立同分布序列的中心极限定理，代入μ=0，σ=1，则故选择C.【提示】独立同分布序列的中心极限定理：（课本P120，定理5－4）：设X1，X2，…，Xn，…是独立同分布的随机变量序列，且具有相同的数学期望和方差E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2（i＝1，2，…）.记随机变量的分布函数为Fn（x），则对于任意实数x，有＝，其中φ（x）为标准正态分布的分布函数。应用：不论X1，X2，…，Xn，…服从什么分布，当n充分大时，（1）近似服从正态分布；（2）近似服从正态分布，其中，D（Xi）=σ2（i＝1，2，…）。（2）对于大数定律与中心极限定理，除了清楚条件和结论外，更重要的是理解它们所回答的问题，以及在实际中的应用。（课本P118，看书讲解）7.设x1,x2，…，xn为来自总体N（μ，σ2）的样本，μ，σ2是未知参数，则下列样本函数为统计量的是A.B.C.D.[918150107]【答案】D【解析】根据统计量定义，选择D。【提示】课本p132，定义6－1：设x1,x2,…,xn为取自某总体的样本，若样本函数T=T（x1,x2,…,xn）中包含任何未知参数，则称T为统计量.8.对总体参数进行区间估计，则下列结论正确的是A.置信度越大，置信区间越长B.置信度越大，置信区间越短C.置信度越小，置信区间越长D.置信度大小与置信区间长度无关[918150108]【答案】D【解析】选项A，B，C不正确，只能选择D。【提示】置信区间长度的增大或减小不仅与置信度有关，还与样本容量有关，其中的规律是：在样本容量固定的情况下，置信度增大，置信区间长度增大，区间估计的精度降低；置信度减小，置信区间长度减小，区间估计的精度提高。9.在假设检验中，H0为原假设，H1为备择假设，则第一类错误是A.H1成立，拒绝H0B.H0成立，拒绝H0C.H1成立，拒绝H1D.H0成立，拒绝H1【答案】B【解析】假设检验中可能犯的错误为：第一类错误，也称“拒真错误”；第二类错误，也称“取伪错误”。无论“拒真”还是“取伪”，均是针对原假设而言的。故选择B。【提示】（1）假设检验全称为“显著性水平为α的显著性检验”，其显著性水平α为犯第一类错误的概率；而对于犯第二类错误的概率β没有给出求法；（2）当样本容量固定时，减小犯第一类错误的概率α，就会增大犯第二类错误的概率β；如果同时减小犯两类错误的概率，只有增加样本容量。10.设一元线性回归模型：且各εi相互独立.依据样本（xi,yi）（i=1,2,…,n）得到一元线性回归方程，由此得xi对应的回归值为，yi的平均值，则回归平方和S回为A.B.C.D.[918150109]【答案】C【解析】根据回归平方和的定义，选择C。【提示】1.根据回归方程的的求法，任何一组样本观察值都可以得到一个回归方程；2.在回归方程的显著性检验的F检验法（课本p188）中，要检验所求回归方程是否有意义，必须分析yi随xi变化而产生的偏离回归直线的波动的原因。为此，选择了一个不变值――yi的平均值为基准，总偏差为＝此式称为平方和分解式。可知，S回反映了观察值yi受到随机因素影响而产生的波动，S回反映了观察值yi偏离回归直线的程度。所以，若回归方程有意义，则S回尽可能大，S剩尽可能小。非选择题部分二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）11.设甲、乙两人独立地向同一目标射击，甲、乙击中目标的概率分别为0.8，0.5，则甲、乙两人同时击中目标的概率为_____________.[918150101]【答案】0.4【解析】设A，B分别表示甲、乙两人击中目标的两事件，已知A，B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B）=0.8×0.5＝0.4故填写0.4.【提示】二事件的关系（1）包含关系：如果事件A发生必然导致事件B发生，则事件B包含事件A，记做；对任何事件C，都有，且0≤P（C）≤1；（2）相等关系：若且，则事件A与B相等，记做A＝B，且P（A）=P（B）；（3）互不相容关系：若事件A与B不能同时发生，称事件A与B互不相容或互斥，可表示为A∩B=Ф，且P（AB）=0；（4）对立事件：称事件“A不发生”为事件A的对立事件或逆事件，记做；满足且.显然：①；②，.（5）二事件的相互独立性：若P（AB）=P（A）P（B）,则称事件A,B相互独立；性质1：四对事件A、B，、A，A、，、其一相互独立，则其余三对也相互独立；性质2：若A,B相互独立，且P（A）0,则P（B|A）=P（B）.12.设A，B为两事件，且P（A）=P（B）=，P（A|B）=，则P（|）=_____________.[918150202]【答案】【解析】，由1题提示有，所以＝，所以，故填写.【提示】条件概率：事件B（P（B）0）发生的条件下事件A发生的概率；乘法公式P（AB）=P（B）P（A|B）。13.已知事件A，B满足P（AB）=P（），若P（A）=0.2，则P（B）=_____________.[918150203]【答案】0.8【解析】，所以P（B）=1-P（A）=1-0.2=0.8，故填写0.8.【提示】本题给出一个结论：若，则有.X12345，P2a0.10.3a0.314.设随机变量X的分布律则a=__________.[918150204]【答案】0.1【解析】2a+0.1+0.3+a+0.3=1，3a=1-0.7=0.3，所以a=0.1，故填写0.1.【提示】离散型随机变量分布律的性质：设离散型随机变量X的分布律为P{X=xk}=pk，k＝1，2，3，…，（1）pk≥0，k＝1，2，3，…；（2）；（3）.15.设随机变量X