定积分近似计算方法

第1页共17页定积分的近似计算方法摘要本文主要讨论了一元函数常见的数值积分方法,例如插值型求积公式、龙贝格求积公式、高斯求积公式等近似计算方法,在用这些方法计算定积分时,会产生一些误差,为了减少误差,可以利用复化求积公式、复化高斯公式等.本文围绕这些方法,系统介绍它们的计算公式以及截断误差,并用例题分析它们产生误差的大小、计算量等.关键词插值型积分龙贝格积分高斯积分误差分析近似计算1引言在计算定积分的值()baIfxdx时,常常根据微积分学基本定理求出)(xf的一个原函数)(xF,再用牛顿-莱布尼茨公式求的积分,()()()baIfxdxFbFa.但在实际应用中,这种方法只限于解决一小部分定积分的求值问题.当函数没有具体表达式,只是一些实验测得数据形成的表格或图形或者是()Fx无法用初等函数表示,例如,2bxaedx,2sinbaxdx等等,这就需要我们用一些近似方法求的积分值.与数值积分一样,把积分区间细分,在每个小区间上,找到简单函数)(x来近似代替()fx,且()baxdx的值容易求的.这样就把计算复杂的()bafxdx转化为求简单的积分值()baxdx.因此,定积分的近似计算实质上是就是被积函数的近似计算问题.2常见数值方法2.1牛顿-科茨数值方法牛顿-科茨求积公式是求积节点等距离分布的插值型求积公式.利用插值多项式来构造数值积分公式是最常用、最基本的方法,具体做法是：给定区间[,]ab上一组节点01...naxxxb,以及节点处函数()(0,1,2,...,)ifxin,作()fx的n次拉格朗日多项式0()()()nniiixfxlx,其中011011()()()()()()()()()iiniiiiiiinxxLxxxxLxxlxxxLxxxxLxx,将插值公式第2页共17页(1)1()()()()(1)!nnnffxxxn.其中1012()()()()()nnxxxxxxxLxx,[,]ab,依赖于变量x,上式积分得(1)1()()()()(1)!nbbbnnaaaffxdxxdxxdxn(1)(1)0()()()()(1)!nnbbiiinaaiffxlxdxxdxn(1)(1)0()()()()(1)!nnbbiinaaiffxblxdxxdxn若记(),(0,1,2,biiaAlxdxi…..)n(1)(1)1()[]()(1)!nbnafRfxdxn,(2)则有0()()[]nbiiaifxdxAfxRf(3)称式(3)为插值求型公式,其中(0,1,2,iAi….)n与()fx无关,叫求积系数,ix为求积节点,[]Rf为求积公式余项,其中求积系数由(1)决定.2.1.1梯形求积公式1梯形公式当插值节点01,xx分别选取区间端点,ab时,由式(3)分别求出求积系数10012bbaaxxxbbaAdxdxxxab,01102bbaaxxxabaAdxdxxxba.从而的求积公式()[()()]2babafxdxfafb.(4)称求积公式(4)为梯形求积公式,简称梯形公式.第3页共17页2梯形公式截断误差:3*()[](),12baRff*[,]ab.(5)3梯形求积公式的代数精度:1当()1fx时,式(5)中1(1)2babadxbaxba.精确成立.2.1.2辛普森求积公式1辛普森求积公式当选取节点为012,,2abxaxxb时,由式(1)求下列求积系数1200102()()()()2()()6()()2bbaaabxxbxxxxbaAdxdxabxxxxaab,0211002()()()()2()()()3()()22bbaaxxxxxaxbbaAdxdxababxxxxab.0122021()()()()2()()6()()22bbaaabxaxxxxxbaAdxdxababxxxxab.从而求积公式()[()4()()]62babaabfxdxfaffb.（6）称式(6)为抛物线积分公式或辛普森积分公式.2抛物线求积公式误差估计定理1.若()fx在[,]ab上有四阶连续导数,则抛物线公式(6)的余项为:5(4)**()[](),[,]2880baRffab.(7)3抛物线公式的代数精度为3.易验证,当23()1,,,fxxxx时,式(6)精确成立,而当4()fxx时,式(6)不能精确成立.2.1.3牛顿-科茨公式1牛顿-科茨公式第4页共17页在等距离节点ixaih下,其中(0,1,2bahin….)n.作为变量替换xath,那么由求积公式(1),得系数:10(1)(1)(1)()!(1)(1)!nintttititnAhdtin10(1)(1)...(1)(1)...()(0,1,2,...)!(1)!nnbatttititndtinnin(8)则()()niiAbaC(9)于是差值求积公式为:()0()()()[]nbniiaifxdxbaCfxRf(10)称公式(10)为牛顿-科茨求积公式,其中()niC称为科茨系数.显然,科茨系数与被积函数()fx及积分区间[,]ab无关,它指依赖于n,且为多项式积分.因此,只要给出n,就能看出iA,并写出相应地牛顿-科茨公式.2牛顿-科茨公式的截断误差与代数精度.当1n与2n情况分析牛顿-科茨公式的截断误差为(1)()[]()()()(1)!nbbbnaaafRffxdxxdxxdxn牛顿-科茨公式的截断误差还可以写成(2)*1()[]()((2)!nbnafRfxdxnn为偶数）(1)*1()[]()(1)!nbnafRfxdxn(n为奇数）(11)其中*[,]ab,且不依赖于x,101()()()...()nnxxxxxxx,对()fx为任何并不超过n次多项式,均有(1)()0nfx,因而[]0Rf,即0()()nbiiaifxdxAfx精确成立,也就是说,牛顿-科茨公式的代数精度至少为n,牛顿-科茨公式在n为偶数时,至少具有1n次代数精度,在n为奇数情况时,至少具有n次代数精度.2.1.4复化梯形求积公式第5页共17页将区间[,]ab等分,节点为ixaih(步长bahn),0,1,2...,in)在每个小区间1[,]iixx上采用梯形公式(4)得11111()()[(()()]2iinnbxiiiiaxiixxfxdxfxdxfxfx11[()()]2niiihfxfx11[()2()()]2ninihfafxfbT(12)称式(12)为复化梯形公式.复化梯形公式余项为()2()()()12inbaRfhf(13)2.1.5复化辛普森求积公式在每个小区间],[1iixx上,辛普森公式(6)得11102()[()4()()]6nbiiaiihfxdxfxfxfx（14）111012[()4()2((6)]6nniiiihfafxfxf记)]()(2)(4)([6111021bfxfxfafhSniiniin(15)式中,21ix为],[1iixx的中点,即hxxii2121.式(15)称为复化辛普森公式,其余项为10)4(4)()2(180)()(niinnfhhSfIfR,1(,).iiixx故),(),()2(180)(R)4(4bafhabfn(16)为复化辛普森的截断误差.2.1.6复化科茨求积公式将区间[,]abn等分,4nm,m为正整数,在每个子区间444[,]kkxx上用科茨求积公第6页共17页式得到复化求积公式:412()[7()7()32()45mbkakhfxdxfafbfx14241411112()32()14()mmmkkkNkkkfxfxfxC(17)其中4babahnm,kxakh其截断误差为6(6)2()[,](),()945nbaRfChfab.2.1.7变步长复化求积方法复化求积公式虽然计算简单,也达到了提高精度的目的,但为了满足精度要求必须顾及误差,利用误差公式往往很困难,因为误差表达式中含有未知函数的导数,而估计各阶导数的最大值不太容易.我们可以采取把积分的区间[,]ab细分的办法,在计算积分时将步长逐步折半,利用前后两次结果进行误差估计,如此继续,直到相邻两次结果相差不大,取最小的步长算出的结果为积分值,这种方法称为变步长积分法.以复化梯形公式为例,把区间[,]ab分成n等分,设复化梯形公式的近似值为nT,原积分值为I,由复化梯形公式误差公式(14)知:211()()()nbabaITfabNN再把区间[,]ab分成2n等分,得近似值2nT,则2222()()()122kbabaITfabn假定()fx在[,]ab上变化不大,既有12()()ff.由上式得.24kkITIT于是222211()()341nnnnnnITTTTTT(18)式(18)表明若用2nT作为I的近似值,其截断误差约为2()3nnTT(19)2.2龙贝格求积公式龙贝格积分法的基本思想是采用复化梯形求积方法不断折半步长过程中,在积分结果中加入时候误差估计值进行补偿,使积分计算的收敛性加速,就可以加工出,,,...nnnSCR精度较第7页共17页高的积分结果.由式(19),2nT的误差大致为23nnTT,因此,可用这个误差值作为2nT的一种补偿,加到2nT上,则可得到积分准确值I,比2nT的更好近似值~T.222141()333nnnnnTTTTTT2221(2)21nnTT(20)式(20)左端1n时记122121141()333STTTTT112()()332abTbaf[()4()()]62baabfaffb恰好为[,]ab上应用辛普生公式(16)的结果.在每个小区间应用辛普生公式:11[()2()()]2nnkkhTfafxfb121()112[()2()()2()]4nnnkkkkhTfafxfbfx代入式(20)的左端得11111[()2()()2()32nnkkkkhfafxfbfx11[()2()()]2nkkhfafxfb11111[()4()2()()]62nnkkkkfafxfxfbnS从而复化辛普森公式与复化梯形公式公式有以下关系式2441nnnTTS(21)类似也可以推证,在辛普森序列基础上,利用以下关系式22242161151541nnnnnSSCSS(22)第8页共17页可以造出收敛速度更快的科茨序列12,...,...nCCC将此推行下去,在科茨序列基础上,通过243431nnnCCR(23)构造出收敛速度比科茨序列更快的龙贝格序列12,,......nRRR.以上这种通过逐步构造龙贝格序列的积分近似值法就称为龙贝格积分法.2.3高斯求积公式由定理()()()bafxFbFa知,插值型求积公式的代数精度与求积节点的个数有关,具有1n个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度.不仅如此,代数精度与节点的选取有关,在构造牛顿-科茨求积公式时,为了简化处理过