不等式解法归纳

典型例题一例1解不等式：（1）015223xxx；（2）0)2()5)(4(32xxx．分析：如果多项式)(xf可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式0)(xf（或0)(xf）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：（1）原不等式可化为0)3)(52(xxx把方程0)3)(52(xxx的三个根3,25,0321xxx顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为3025xxx或（2）原不等式等价于2450)2)(4(050)2()5)(4(32xxxxxxxxx或∴原不等式解集为2455xxxx或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．典型例题二例2解下列分式不等式：（1）22123xx；（2）12731422xxxx分析：当分式不等式化为)0(0)()(或xgxf时，要注意它的等价变形①0)()(0)()(xgxfxgxf②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(xgxfxfxgxfxgxgxfxgxf或或（1）解：原不等式等价于0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx用“穿根法”∴原不等式解集为,62,1)2,(。（2）解法一：原不等式等价于027313222xxxx21213102730132027301320)273)(132(222222xxxxxxxxxxxxxxx或或或∴原不等式解集为),2()1,21()31,(。解法二：原不等式等价于0)2)(13()1)(12(xxxx0)2()13)(1)(12(xxxx用“穿根法”∴原不等式解集为),2()1,21()31,(典型例题三例3解不等式242xx分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义)0()0(aaaaa二是根据绝对值的性质：axaxaxaax.,或ax，因此本题有如下两种解法．解法一：原不等式240424042222xxxxxx或即1222222xxxxxxx或或或∴32x或21x故原不等式的解集为31xx．解法二：原不等式等价于24)2(2xxx即)2(42422xxxx∴312132xxxx故或．典型例题四例4解不等式04125622xxxx．分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x二次式的商，由商的符号法则，它等价于下列两个不等式组：041205622xxxx或041205622xxxx所以，原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集．也可用数轴标根法求解．解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集：0412,05622xxxx　或0412,05622xxxx;0)6)(2(,0)5)(1(xxxx或;0)6)(2(,0)5)(1(xxxx；62,51xx或6,2,5,1xxxx或或,51x或2x或6x．∴原不等式解集是}6512{xxxx，或，或．解法二：原不等式化为0)6)(2()5)(1(xxxx．画数轴，找因式根，分区间，定符号．)6)(2()5)(1(xxxx符号∴原不等式解集是}6512{xxxx，或，或．说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解．解法二中，“定符号”是关键．当每个因式x的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含０的区间符号，其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．典型例题五例5解不等式xxxxx222322．分析：不等式左右两边都是含有x的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解．解：移项整理，将原不等式化为0)1)(3()1)(2(2xxxxx．由012xx恒成立，知原不等式等价于0)1)(3()2(xxx．解之，得原不等式的解集为}321{xxx或．说明：此题易出现去分母得)23(2222xxxxx的错误解法．避免误解的方法是移项使一边为０再解．另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理．典型例题六例6设Rm，解关于x的不等式03222mxxm．分析：进行分类讨论求解．解：当0m时，因03一定成立，故原不等式的解集为R．当0m时，原不等式化为0)1)(3(mxmx；当0m时，解得mxm13；当0m时，解得mxm31．∴当0m时，原不等式的解集为mxmx13；当0m时，原不等式的解集为mxmx31．说明：解不等式时，由于Rm，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解．因为当0m时，原不等式化为03，此时不等式的解集为R，所以解题时应分0m与0m两种情况来讨论．在解出03222mxxm的两根为mx31，mx12后，认为mm13，这也是易出现的错误之处．这时也应分情况来讨论：当0m时，mm13；当0m时，mm13．典型例题七例7解关于x的不等式)0(122axaax．分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解．解：原不等式;)1(2,01,02)1(222xaaxxaax或.01,02)2(2xax由0a，得：;01)1(2,1,2)1(22axaxxax.1,2)2(xax由判别式08)1(4)1(422aaa，故不等式01)1(222axax的解是aaxaa2121．当20a时，1212aaa，121aa，不等式组(1)的解是121xaa，不等式组(2)的解是1x．当2a时，不等式组(1)无解，(2)的解是2ax．综上可知，当20a时，原不等式的解集是,21aa；当2a时，原不等式的解集是,2a．说明：本题分类讨论标准“20a，2a”是依据“已知0a及(1)中‘2ax，1x’，(2)中‘2ax，1x’”确定的．解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点．一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定．本题易误把原不等式等价于不等式)1(22xaax．纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法．典型例题八例8解不等式331042xx．分析：先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即可．解答：去掉绝对值号得3310432xx，∴原不等式等价于不等式组06104010433104310432222xxxxxxxx.321,2500)12)(3(20)52(2xxxxxxx或∴原不等式的解集为325021xxx或．说明：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解．典型例题九例9解关于x的不等式0)(322axaax．分析：不等式中含有字母a，故需分类讨论．但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样：求出方程0)(322axaax的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母a，故需比较两根的大小，从而引出讨论．解：原不等式可化为0))((2axax．(1)当2aa（即1a或0a）时，不等式的解集为：2axaxx或；(2)当2aa（即10a）时，不等式的解集为：axaxx或2；(3)当2aa（即0a或1）时，不等式的解集为：axRxx且．说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论．比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根ax1，22ax，因此不等式的解就是x小于小根或x大于大根．但a与2a两根的大小不能确定，因此需要讨论2aa，2aa，2aa三种情况．典型例题十例10已知不等式02cbxax的解集是)0(xx．求不等式02abxcx的解集．分析：按照一元二次不等式的一般解法，先确定系数c的正负，然后求出方程02abxcx的两根即可解之．解：(解法1)由题可判断出，是方程02cbxax的两根，∴ab，ac．又02cbxax的解集是xx，说明0a．而0，0000cac，∴0022caxcbxabxcx．),1)(1(1,11accbacab∴02caxcbx，即0)1)(1()11(2xx，即0)1)(1(xx．又0，∴11，∴0)1)(1(xx的解集为11xx．(解法2)由题意可判断出，是方程02cbxax的两根，∴ac．又02cbxax的解集是xx，说明0a．而0，0000cac．对方程02abxcx两边同除以2x得0)1()1(2cxbxa．令xt1，该方程即为02ctbta，它的两根为1t，2t，∴11x，21x．∴11x，12x，∴方程02abxcx的两根为1，1．∵0，∴11．∴不等式02abxcx的解集是11xx．说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负，求出相应的方程的根；(2)结合使用韦达定理，本题中只有，是已知量，故所求不等式解集也用，表示，不等式系数a，b，c的关系也用，表示出来；(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根．典型例题十二例12若不等式1122xxbxxxax的解为)1()31(，，，求a、b的值．分析：不等式本身比较复杂，要先对不等式进行同解变形，再根据解集列出关于a、b式子．解：∵043)21(122xxx，043)21(122xxx，∴原不等式化为0)()2(2baxbaxba．依题意34231202bababababa，∴2325ba．说明：解有关一元二次方程的不等式，要注意判断二次项系数的符号，结合韦达定理来解．典型例题十三例13不等式02