高中不等式的常用证明方法归纳总结

1不等式的证明方法不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。注意abba222的变式应用。常用2222baba(其中Rba,)来解决有关根式不等式的问题。一、比较法比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。1、已知a,b,c均为正数，求证：accbbacba111212121证明：∵a,b均为正数，∴0)(4)(44)()(14141)(2baabbaababbaababbababa同理0)(414141)(2cbbccbcbcb，0)(414141)(2caacacacac三式相加，可得0111212121accbbacba∴accbbacba111212121二、综合法综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。2、a、b、),0(c，1cba，求证：31222cba证：2222)(1)(3cbacba∴2222)()(3cbacba0)()()(222222222222accbbacabcabcba3、设a、b、c是互不相等的正数，求证：)(444cbaabccba证：∵22442baba22442cbcb22442acac∴222222444accbbacba∵cabcbbacbba22222222222同理：abcaccb222222bcabaac222222∴)(222222cbaabcaccbba4、知a,b,cR，求证:)(2222222cbaaccbba证明：∵)(22222222)(22babababaabab2即2)(222baba，两边开平方得)(222222bababa同理可得)(2222cbcb)(2222acac三式相加，得)(2222222cbaaccbba5、),0(yx、且1yx，证：9)11)(11(yx。证：)1)(1()11)(11(yyxxyxyx)(25)2)(2(yxxyyxxy92256、已知.9111111,,babaRba求证：策略:由于的背后隐含说明1,,4121,,2baRbaabbaabbaRba.41ab着一个不等式证明：411,,abbaRba。.91111.981211111111111baabababbaabbaba而三、分析法分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。7、已知a、b、c为正数，求证：)3(3)2(23abccbaabba证：要证：)3(3)2(23abccbaabba只需证：332abccab即：332abcabc∵3333abcababcababc成立∴原不等式成立8、),0(cba、、且1cba，求证3cba。证：3cba3)(2cba即：2222acbcab∵baab2cbbc2caac2即2)()()(222cacbbaacbcab∴原命题成立四、换元法换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目3的。9、1b，求证：1)1)(1(22baab。证明：令sina2kksinb2kk左coscossinsincoscossinsin1)cos(∴1)1)(1(22baab10、122yx，求证：22yx证：由122yx设cosx，siny∴]2,2[)4sin(2sincosyx∴22yx11、已知abc,求证：.411cacbba证明：∵a－b0,b－c0,a－c0∴可设a－b=x,b－c=y(x,y0)则a－c=x+y,原不等式转化为证明yxyx411即证4)11)((yxyx，即证42xyyx∵2xyyx∴原不等式成立（当仅x=y当“=”成立）12、已知1≤x2＋y2≤2，求证：21≤x2－xy＋y2≤3．证明：∵1≤x2＋y2≤2，∴可设x=rcos，y=rsin，其中1≤r2≤2，0≤＜2．∴x2－xy＋y2=r2－r2sin2=r2(1－21sin2)，∵21≤1－21sin2≤23，∴21r2≤r2(1－21sin2)≤23r2，而21r2≥21，23r2≤3∴21≤x2－xy＋y2≤3．13、已知x2－2xy＋y2≤2，求证：|x＋y|≤10．证明：∵x2－2xy＋y2=(x－y)2＋y2，∴可设x－y=rcos，y=rsin，其中0≤r≤2，0≤＜2．∴|x＋y|=|x－y＋2y|=|rcos＋2rsin|=r|5sin(＋ractan21)|≤r5≤10．14、解不等式15xx＞21解：因为22)1()5(xx=6，故可令x5=6sin，1x＝6cos，∈［0，2］则原不等式化为6sin－6cos＞21所以6sin＞21+6cos由∈［0，2］知21+6cos＞0，将上式两边平方并整理，得48cos2+46cos－23＜04解得0≤cos＜246282所以x＝6cos2－1＜124724，且x≥－1，故原不等式的解集是｛x|-1≤x＜124724}.15、－1≤21x－x≤2．证明：∵1－x2≥0，∴－1≤x≤1，故可设x=cos，其中0≤≤．则21x－x=2cos1－cos=sin－cos=2sin(－4)，∵－4≤－4≤43，∴－1≤2sin(－4)≤2，即－1≤21x－x≤2．五、增量代换法在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a＞b＞c)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简．16、已知a，bR，且a＋b=1，求证：(a＋2)2＋(b＋2)2≥225．证明：∵a，bR，且a＋b=1，∴设a=21＋t，b=21－t，(tR)则(a＋2)2＋(b＋2)2=(21＋t＋2)2＋(21－t＋2)2=(t＋25)2＋(t－25)2=2t2＋225≥225．∴(a＋2)2＋(b＋2)2≥225．六、利用“1”的代换型17、.9111,1,,,cbacbaRcba求证：且已知策略：做“1”的代换。证明：ccbabcbaacbacba111922233cbbccaacbaab.七、反证法反证法的思路是“假设矛盾肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。18、若p＞0，q＞0，p3＋q3=2，求证：p＋q≤2．证明：反证法假设p＋q＞2，则(p＋q)3＞8，即p3＋q3＋3pq(p＋q)＞8，∵p3＋q3=2，∴pq(p＋q)＞2．故pq(p＋q)＞2=p3＋q3=(p＋q)(p2－pq＋q2)，又p＞0，q＞0p＋q＞0，∴pq＞p2－pq＋q2，即(p－q)2＜0，矛盾．故假设p＋q＞2不成立，∴p＋q≤2．19、已知a、b、c（0，1），求证：ba)1(，cb)1(，ac)1(，不能均大于41。证明：假设ba)1(，cb)1(，ac)1(均大于41∵)1(a，b均为正∴52141)1(2)1(baba同理2141)1(2)1(cbcb212)1(ac∴2121212)1(2)1(2)1(accbba∴2323不正确∴假设不成立∴原命题正确20、已知a,b,c∈（0，1），求证：（1－a）b,（1－b）c,（1－c）a不能同时大于41。证明：假设三式同时大于41∵0＜a＜1∴1－a＞0∴2141)1(2)1(baba21、a、b、Rc，0cba，0cabcab，0cba，求证：a、b、c均为正数。证明：反证法：假设a、b、c不均为正数又∵0cbaa、b、c两负一正不妨设0a，0b，0c又∵0cba∴0)(bac同乘以)(ba∴2)()(babac即0)(22babaabbcac，与已知0cabcab矛盾∴假设不成立∴a、b、c均为正数八、放缩法放缩时常用的方法有：1去或加上一些项2分子或分母放大（或缩小）3用函数单调性放缩4用已知不等式放缩22、已知a、b、c、d都是正数，求证：1＜cbab＋dcbc＋adcd＋bada＜2．证明：∵dcbab＜cbab＜bab，dcbac＜dcbc＜dcc，dcbad＜adcd＜dcd，dcbaa＜bada＜baa，将上述四个同向不等式两边分别相加，得：1＜cbab＋dcbc＋adcd＋bada＜2．23、*Nn，求证：12131211)11(2nnn。证明：∵)1(21221kkkkkkk)1(21221kkkkkkk∴6)1(2)23(2)12(211211nnn12n)1(2)23(2)12(21211nnn)11(2n判别式法24、A、B、C为ABC的内角，x、y、z为任意实数，求证：Ayzzyxcos2222CxyBxzcos2cos2。证明：构造函数，判别式法令)cos2cos2cos2()(222CxyBxzAyzzyxxf)cos2()coscos(2222AyzzyCyBzxx为开口向上的抛物线)cos2(4)coscos(4222AyzzyCyBz)cos2coscos2sinsin(42222AyzCByzCyBz)]sinsincos(cos2coscos2sinsin[42222CBCByzCByzCyBz]sinsin2sinsin[42222CByzCyBz0)cossin(42CyBz无论y、z为何值，0∴Rx0)(xf∴命题真九、构造函数法构造函数法证明不等式24设0≤a、b、c≤2，求证：4a＋b2＋c2＋abc≥2ab＋2bc＋2ca．证明：视a为自变量，构造一次函数)(af=4a＋b2＋c2＋abc－2ab－2bc－2ca=(bc－2b－2c＋4)a＋(b2＋c2－2bc)，由0≤a≤2，知)(af表示一条线段．又)0(f=b2＋c2－2bc=(b－c)2≥0，)2(f=b2＋c2－4b－4c＋8=(b－2)2＋(c－2)2≥0，可见上述线段在横轴及其上方，∴)(af≥0，即4a＋b2＋c2＋abc≥2ab＋2bc＋2ca．构造向量法证明不等式根据已知条件与欲证不等式结构，将其转化为向量形式，利用向量数量积及不等式关系m·