高中不等式的证明方法

老子孔子庄子教子有方状元榜眼探花师出名门不等式的证明方法不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。注意abba222的变式应用。常用2222baba(其中Rba,)来解决有关根式不等式的问题。一、比较法比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。1、已知a,b,c均为正数，求证：accbbacba111212121证明：∵a,b均为正数，∴0)(4)(44)()(14141)(2baabbaababbaababbababa同理0)(414141)(2cbbccbcbcb，0)(414141)(2caacacacac三式相加，可得0111212121accbbacba∴accbbacba111212121二、综合法综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。2、a、b、),0(c，1cba，求证：31222cba证：2222)(1)(3cbacba∴2222)()(3cbacba0)()()(222222222222accbbacabcabcba3、设a、b、c是互不相等的正数，求证：)(444cbaabccba证：∵22442baba22442cbcb22442acac∴222222444accbbacba∵cabcbbacbba22222222222同理：abcaccb222222bcabaac222222∴)(222222cbaabcaccbba4、知a,b,cR，求证:)(2222222cbaaccbba老子孔子庄子教子有方状元榜眼探花师出名门证明：∵)(22222222)(22babababaabab即2)(222baba，两边开平方得)(222222bababa同理可得)(2222cbcb)(2222acac三式相加，得)(2222222cbaaccbba5、),0(yx、且1yx，证：9)11)(11(yx。证：)1)(1()11)(11(yyxxyxyx)(25)2)(2(yxxyyxxy92256、已知.9111111,,babaRba求证：策略:由于的背后隐含说明1,,4121,,2baRbaabbaabbaRba.41ab着一个不等式证明：411,,abbaRba。.91111.981211111111111baabababbaabbaba而三、分析法分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。7、已知a、b、c为正数，求证：)3(3)2(23abccbaabba证：要证：)3(3)2(23abccbaabba只需证：332abccab即：332abcabc∵3333abcababcababc成立∴原不等式成立8、),0(cba、、且1cba，求证3cba。证：3cba3)(2cba即：2222acbcab老子孔子庄子教子有方状元榜眼探花师出名门∵baab2cbbc2caac2即2)()()(222cacbbaacbcab∴原命题成立四、换元法换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。9、1b，求证：1)1)(1(22baab。证明：令sina2kksinb2kk左coscossinsincoscossinsin1)cos(∴1)1)(1(22baab10、122yx，求证：22yx证：由122yx设cosx，siny∴]2,2[)4sin(2sincosyx∴22yx11、已知abc,求证：.411cacbba证明：∵a－b0,b－c0,a－c0∴可设a－b=x,b－c=y(x,y0)则a－c=x+y,原不等式转化为证明yxyx411即证4)11)((yxyx，即证42xyyx∵2xyyx∴原不等式成立（当仅x=y当“=”成立）12、已知1≤x2＋y2≤2，求证：21≤x2－xy＋y2≤3．证明：∵1≤x2＋y2≤2，∴可设x=rcos，y=rsin，其中1≤r2≤2，0≤＜2．∴x2－xy＋y2=r2－r2sin2=r2(1－21sin2)，∵21≤1－21sin2≤23，∴21r2≤r2(1－21sin2)≤23r2，而21r2≥21，23r2≤3∴21≤x2－xy＋y2≤3．13、已知x2－2xy＋y2≤2，求证：|x＋y|≤10．证明：∵x2－2xy＋y2=(x－y)2＋y2，∴可设x－y=rcos，y=rsin，其中0≤r≤2，0≤＜2．∴|x＋y|=|x－y＋2y|=|rcos＋2rsin|=r|5sin(＋ractan21)|≤r5≤10．14、解不等式15xx＞21老子孔子庄子教子有方状元榜眼探花师出名门解：因为22)1()5(xx=6，故可令x5=6sin，1x＝6cos，∈［0，2］则原不等式化为6sin－6cos＞21所以6sin＞21+6cos由∈［0，2］知21+6cos＞0，将上式两边平方并整理，得48cos2+46cos－23＜0解得0≤cos＜246282所以x＝6cos2－1＜124724，且x≥－1，故原不等式的解集是｛x|-1≤x＜124724}.15、－1≤21x－x≤2．证明：∵1－x2≥0，∴－1≤x≤1，故可设x=cos，其中0≤≤．则21x－x=2cos1－cos=sin－cos=2sin(－4)，∵－4≤－4≤43，∴－1≤2sin(－4)≤2，即－1≤21x－x≤2．五、增量代换法在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a＞b＞c)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简．16、已知a，bR，且a＋b=1，求证：(a＋2)2＋(b＋2)2≥225．证明：∵a，bR，且a＋b=1，∴设a=21＋t，b=21－t，(tR)则(a＋2)2＋(b＋2)2=(21＋t＋2)2＋(21－t＋2)2=(t＋25)2＋(t－25)2=2t2＋225≥225．∴(a＋2)2＋(b＋2)2≥225．六、利用“1”的代换型17、.9111,1,,,cbacbaRcba求证：且已知策略：做“1”的代换。证明：ccbabcbaacbacba111922233cbbccaacbaab.七、反证法反证法的思路是“假设矛盾肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。18、若p＞0，q＞0，p3＋q3=2，求证：p＋q≤2．证明：反证法假设p＋q＞2，则(p＋q)3＞8，即p3＋q3＋3pq(p＋q)＞8，∵p3＋q3=2，∴pq(p＋q)＞2．故pq(p＋q)＞2=p3＋q3=(p＋q)(p2－pq＋q2)，又p＞0，q＞0p＋q＞0，老子孔子庄子教子有方状元榜眼探花师出名门∴pq＞p2－pq＋q2，即(p－q)2＜0，矛盾．故假设p＋q＞2不成立，∴p＋q≤2．19、已知a、b、c（0，1），求证：ba)1(，cb)1(，ac)1(，不能均大于41。证明：假设ba)1(，cb)1(，ac)1(均大于41∵)1(a，b均为正∴2141)1(2)1(baba同理2141)1(2)1(cbcb212)1(ac∴2121212)1(2)1(2)1(accbba∴2323不正确∴假设不成立∴原命题正确20、已知a,b,c∈（0，1），求证：（1－a）b,（1－b）c,（1－c）a不能同时大于41。证明：假设三式同时大于41∵0＜a＜1∴1－a＞0∴2141)1(2)1(baba21、a、b、Rc，0cba，0cabcab，0cba，求证：a、b、c均为正数。证明：反证法：假设a、b、c不均为正数又∵0cbaa、b、c两负一正不妨设0a，0b，0c又∵0cba∴0)(bac同乘以)(ba∴2)()(babac即0)(22babaabbcac，与已知0cabcab矛盾∴假设不成立∴a、b、c均为正数八、放缩法放缩时常用的方法有：1去或加上一些项2分子或分母放大（或缩小）3用函数单调性放缩4用已知不等式放缩22、已知a、b、c、d都是正数，求证：1＜cbab＋dcbc＋adcd＋bada＜2．证明：∵dcbab＜cbab＜bab，dcbac＜dcbc＜dcc，dcbad＜adcd＜dcd，dcbaa＜bada＜baa，老子孔子庄子教子有方状元榜眼探花师出名门将上述四个同向不等式两边分别相加，得：1＜cbab＋dcbc＋adcd＋bada＜2．23、*Nn，求证：12131211)11(2nnn。证明：∵)1(21221kkkkkkk)1(21221kkkkkkk∴)1(2)23(2)12(211211nnn12n)1(2)23(2)12(21211nnn)11(2n判别式法24、A、B、C为ABC的内角，x、y、z为任意实数，求证：Ayzzyxcos2222CxyBxzcos2cos2。证明：构造函数，判别式法令)cos2cos2cos2()(222CxyBxzAyzzyxxf)cos2()coscos(2222AyzzyCyBzxx为开口向上的抛物线)cos2(4)coscos(4222AyzzyCyBz)cos2coscos2sinsin(42222AyzCByzCyBz)]sinsincos(cos2coscos2sinsin[42222CBCByzCByzCyBz]sinsin2sinsin[42222CByzCyBz0)cossin(42CyBz无论y、z为何值，0∴Rx0)(xf∴命题真九、构造函数法构造函数法证明不等式24设0≤a、b、c≤2，求证：4a＋b2＋c2＋abc≥2ab＋2bc＋2ca．证明：视a为自变量，构造一次函数)(af=4a＋b2＋c2＋abc－2ab－2bc－2ca=(bc－2b－2c＋4)a＋(b2＋c2－2bc)，由0≤a≤2，知)(af表示一条线段．又)0(f=b2＋c2－2bc=(b－c)2≥0，)2(f=b2＋c2－4b－4c＋8=(b