整式的有关概念-教材详解及典例分析

1第二章整式0一、知识频道概念内涵概念外延概念缘由1、代数式的有关概念代数式：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数、表示数的字母连结而成的式子叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。说明：代数式书写时需注意：（1）数与字母、字母与字母相乘时乘号省略不写，数字要写在字母前面，如12ab；数字因数是1或－1时，“1”省略不写，如－mn；（2）带分数与字母相乘时要化成假分数，如：ab211要写成ab23的形式；（3）除号要改写成分数线，如：a÷b要写成ba；（4）书写单位时要把代数式用括号括起来，如（12ab＋2R）平方米。代数式的系数：在代数式中，每一项字母前的数字因数叫做这一项的系数。说明：当系数是1或－1时，1省略不写，如－ab，2a等。探究引导：在小学我们研究过一些图形的面积，如三角形、正方形、长方形和圆的面积公式，我们知道三角形的面积＝底×高÷2，正方形的面积＝边长×边长，长方形的面积＝长×宽；圆的面积＝2半径。如下图所示，我们用一些字母代替三角形的底和高、正方形的边长、长方形的长和宽、圆的半径，那么这些面积公式就可以分别表示为：三角形的面积为____12ab_____;长方形的面积为___st_正方形的面积为___2a_____;圆的面积为___2R_________.这些面积公式的表现形式比文字表示要简捷。象12ab，st，2a，2R这些式子都是代数式，它们都是数与字母的积，它们的系数分别是12，1，1，1。2.1整式1、单项式的系数、次数，多项式的项、次数等概念；……知识频道2、列代数式；体验代数式在处理实际问题中的优越性，感受数学的乐趣．……例题频道3、辨析多项式的次数。……方法频道22、整式的有关概念（1）单项式的定义：都是数与字母的积的代数式叫做单项式．说明：判断一个代数式是不是单项式，主要是根据代数式中数字和字母间是否都是乘法运算关系．如xy2就不是一个单项式，因为2y与x之间是除法运算．但是，21ab2是单项式，因为21是一个数．a2是一个单项式，因为a2可以看作是a·a．特别地，单独的一个数或单独的一个字母也都是单项式，如－3，0，35，x，2x等都是单项式（2）单项式次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．说明：单项式的次数，是指这个单项式中将所有字母指数相加得到的和．如单项式3x2、2xy、31x2y、21x的次数分别是2、2、3、1．特别地，单独的一个数字，如3，－９等，可以当做0次单项式来看待．（3）单项式的系数：单项式中的数字因数即为单项式的系数．说明：在单项式中，系数只与数字因数有关；次数只与字母有关．如x3yz4的系数是1，次数为3＋1＋4＝8．（4）多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．说明：多项式是由几个单项式相加得到的，如多项式x2＋2x－1是由单项式x2，2x和－1相加而得到的（5）多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数．说明：在确定多项式的次数时，应先计算出多项式的每一项的次数，然后再确定多项式的次数，即取次数最大的项的次数作为该多项式的次数．如，多项式x3－x2y2＋x中，单项式x3的次数是3，单项式－x2y2的次数是4，单项式x的次数是1，所以多项式x3－x2y2＋x的次数是4．（6）多项式的项数：一个多项式中有几个单项式就有几项．每一个单项式就是一项。说明：多项式的项，包括符号．如多项式5－3x2中，二次项是－3x2．（7）常数项的定义：在多项式中，不含有字母的项叫做多项式的常数项。（8）降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列．（9）升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．说明：把多项式按升幂或降幂排列时，一定要弄清是针对哪个字母的排列，排列时只看这个字母的指数，而后按照加法交换律交换项的位置．对于不同的字母，排列后的顺序往往不同，切记重新排列多项式时，各项一定要带着符号移动位置．如：x3＋2x4y－7xy3－y4－7＝2x4y＋x3－7xy3－y4－7①＝－7－y4－7xy3＋x3＋2x4y②＝－y4－7xy3＋2x4y＋x3－7③＝－7＋x3＋2x4y－7xy3－y4④其中，①是按x的降幂排列；②是按x的升幂排列；③是按y的降幂排列；④是按y的升幂排列．3（10）整式的定义：单项式和多项式统称整式．说明：知道一个代数式，不论是单项式还是多项式，都一定是整式；反之，如果已知一个代数式是整式，那么它或者是单项式，或者是多项式，二者必具其一．如单项式－3x2，x等都是整式，多项式3－x，－x3－x＋1等都是整式；在整式2x，x4－1中，2x是单项式，x4－1是多项式．探究引导：．4a,216b,35x,a2h等，都是数字与字母的乘积.例如4a是4与a的积，216b是16与b2的积，35x是35与x的积，a2h是1与a2h的积.像这样的代数式我们把它们都叫做单项式，其中的数字因式如“4”“16”“35”“1”是单项式的系数.，每个单项式中所有字母的指数和叫单项式的次数。如216b是二次单项式，这里要注意是一个常数，不是一个字母，所以单项式中只有一个字母b，它的指数是2，216b就是一个二次单项式。代数式4a－4b是单项式4a,－4b的和，像这样的几个单项式的和所形成的代数式，我们把它叫做多项式.，每个单项式就是这个多项式的一项，多项式4a－4b中的项是4a和－4b，要注意多项式的项包括符号，所以第二项是－4b。在一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.13x2y这一项在13x2y+2y－1中次数最高，因此我们把13x2y的次数3作为多项式13x2y+2y－1的次数，即13x2y+2y－1是一个三次三项式。二、方法频道由解题理解知识，由知识学会解题1.对单项式、多项式、整式进行判断例1判断下列各代数式，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些不是整式．(1)－3xy2；(2)2x3＋1；(3)21(x＋y＋1)；(4)－a2；(5)0；(6)yx2；(7)32xy；(8)x21；(9)x2＋x1－1；(10)11x；解：单项式有：(1)－3xy2，(4)－a2，(5)0，(7)32xy；多项式有：(2)2x3＋1，(3)21(x＋y＋1)；不是整式的有：(6)yx2，(8)x21，(9)x2＋x1－1，(10)11x．4知识体验：只有数字与字母的乘积，这样的代数式是单项式，几个单项式的和组成多项式，单项式和多项式都是整式。在数字和字母之间只出现了乘法、加法、减法（可转化为加法）的运算，这样的代数式就是整式。没有出现2÷x即x2,或x÷2即2x这样的式子，那么2x,x2是整式吗？2x可以写成21·x,所以2x是单项式，而2x是数字与字母的商，所以不是单项式，更不是整式，所以整式最显著的特征是字母不能作分母。所以(6)yx2；(8)x21；(9)x2＋x1－1；(10)11x；这几个代数式分母中含有字母，就不是整式。易错提示：(6)yx2和(7)32xy这两个代数式常会误以为都是单项式，（7）可以看成xy32，所以是单项式，而（6）是2x÷y，所以不是单项式也不是整式。(3)21(x＋y＋1)；会误以为是单项式，其实21(x＋y＋1)＝21x+21y+21，所以是三个单项式的和，是一个多项式。2、说出单项式、多项式的次数和项例2指出下列各单项式的系数与次数：（1）;832ab（2）-mn3;（3）3432yx（4）－3；解：（1）832ab的系数是83，次数是3.（2）-mn3的系数是-1，次数是4.（3）3432yx的系数是34，次数是5.（4）－3的系数是－3，次数是0。知识体验：单项式的系数，包括前面的符号，当单项式的系数是1或－1时，“1”省略不写，如-nm3中，系数是－1，则把“1”省略不写；圆周率只是一个常数符号，不能把它作为字母，如：3432yx的系数是34，次数是5。另外，像－3，21，0等这样的常数，是零次单项式．易错提示：-nm3的系数是-1；3432yx的系数是34，次数是5，如写成系数是43，次数是6就不对了.5例3、填空：（1）多项式2x4-3x5-2π4是次项式，最高次项的系数是，四次项的系数是，常数项是，补足缺项后按字母x升幂排列得；（2）多项式a3-3ab2+3a2b-b3是次项式，它的各项的次数都是，按字母b降幂排列得.解：（1）五，三，-3，2，－2π4，-2π4+0x+0x2+0x3+2x4-3x5;（2）三，四，3，-b3-3ab2+3a2b+a3.应用体验：－2π4是常数项，不是4次项。确定多项式项时不要漏掉前面的符号，移动多项式的某一项的位置时，要连同前面的符号一起移动，这些都是容易犯错误的地方，要引起高度重视。另外，第（2）小题所给多项式各项次数都等于3，一般称这样的三次多项式为三次齐次式.解题技巧：多项式应看作是省略括号的和的形式．因此，当确定多项式的项时，应包括符号．另外，圆周率π是一个常数．回答多项式是几次几项式时，数字要大写.如五次三项式，不能写成5次3项式.；补足缺项，是把升（或降）幂排列中缺少次数的项的系数用零表示补入式中.，移动多项式的某一项的位置时，要连同前面的符号一起移动.，对含有两个以上字母的多项式，一般按其中的某一个字母的指数大小顺序排列，本题是按规定的字母指数大小排列。三、例题频道（一）题型分类全析1、与代数式有关的题型例1.用代数式表示：（1）把温度是t℃的水加热到100℃，水温升高了___________℃。（2）一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数可表示为___________。（3）用字母表示两个连续奇数为___________。（4）若正方体的棱长是a－1，则正方体的表面积为___________。（5）如图，亮亮家装饰新家，他为自己的房间选了一款窗帘（上方阴影固定），请你帮他计算可以射进阳光的面积为___________米2。b米a米思维直现：（1）温度差别就是末了温度－初始温度；（2）一个两位数的表示方法：十位数字×10＋各位数字；（3）连续奇数之间相差2；（4）正方体的表面积＝棱长×棱长×6；（5）射进阳光的面积＝长方形面积－阴影部分的面积。解：（1）（100－t）6（2）10b＋a（3）2n－1，2n＋1（n为整数）（）4612a（）·5362323624222abbabbabb阅读笔记：用代数式表示，要仔细读题，找到题目中的等量关系，将需要表示的量表达出来，书写代数式时要注意：（1）数与字母、字母与字母相乘时乘号省略不写，数字要写在字母前面，如10b＋a；数字因数是1或－1时，“1”省略不写，如（100－t）；（2）带分数与字母相乘时要化成假分数，如：ab211要写成ab23的形式；（3）除号要改写成分数线，如：a÷b要写成ba；（4）书写单位时要把代数式用括号括起来，如（12ab＋2R）平方米。题评解说：列代数式是学习整式的基础，有代数式才能研究整式，而列代数式用到的知识很多，比如面积公式、温差等生活知识，对学生能力要求较高，难度视题目而定，可能很简单也可能比较难。列代数式是后续学习列方程解决实际问题的基础，所以要掌握好。建议：对列代数所用到的知识要努力回忆和复习，要多练才能熟练。例2.用语言叙述下列代数式的实际意义。（）；（）；（）；（）1323120%)492222aabxaa(思维直现：列代数式要有一定的问题背景，用语言叙述下列代数式，就是要再现列出代数式的问题背景，问题背景可能设计的不同，只要能解释即可。解：（1）如果用a表示一支铅笔的价格，那么3a表示3支铅笔的价格。（2）如果用a，b分别表示两个正方形的边长，那么a2＋b2表示这两个正方形面积之和。（3）如果用x表示过去的产量，那么（1－20%）x表示减少20%以后的产量。（）如果用表示圆的半径，正方形的边长是它的，那么表示