人教课标版高中数学必修二《直线与圆的位置关系》教案-新版

4.2.1直线与圆的位置关系（一）核心素养通过学习直线与圆的位置关系，掌握解决问题的方法——代数法、几何法.（二）学习目标1.清楚圆与直线的三种位置关系.2.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.3.计算直线被圆截得的弦长的常用方法.4.求过点的圆的切线方程.（三）学习重点1.直线与圆的位置关系的判断方法.2.用直线和圆的方程解决问题.（四）学习难点1.用直线和圆的方程解决问题.2.用坐标法判直线与圆的位置关系.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材，填空：直线与圆的三种位置关系的几何含义是：直线与圆的位置关系公共点个数圆心到直线的距离d与半径r的关系图形相交2个dr相切1个d=r相离0个dr（2）记一记：直线与圆的位置关系的判断方法方法一：代数方法步骤：1.将直线方程与圆的方程联立成方程组.2.利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程.3.求出其判别式Δ的值.4.比较Δ与0的大小关系，若Δ＞0，则直线与圆相交；若Δ=0，则直线与圆相切；若Δ＜0，则直线与圆相离.反之也成立.方法二：几何法1.利用点到直线距离公式计算圆心到直线的距离d.2.计算出圆的半径为r.3.比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系，若d＞r，则直线与圆相离；若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线与圆相切.反之也成立.2.预习自测（1）直线与圆有一个交点称为_____，有两个交点称为_____，没有交点称为____.【知识点】直线与圆位置关系定义【数学思想】分类与整合【解题过程】根据定义填空【思路点拨】看图理解定义【答案】相切、相交、相离.（2）直线与圆的方程联立方程组，若方程组无解，则直线与圆，若方程组仅有一组解，则直线与圆，若方程组有两组不同的解，则直线与圆_____.【知识点】直线与圆位置关系定义【数学思想】分类与整合、数形结合【解题过程】根据定义填空【思路点拨】理解方程的解的定义【答案】相离、相切、相交.（3）直线210xy与圆222110xyrr相交，求r的取值范围.【知识点】直线与圆位置关系【数学思想】函数与方程【解题过程】圆心到直线的距离25d，因为相交，所以25rd【思路点拨】圆心到直线的距离与半径的关系【答案】552r（4）判定直线34120xy与圆22(3)(2)4xy位置关系是.【知识点】直线与圆位置关系【解题过程】圆心(3,2)到直线的距离1d，dr，所以相交【思路点拨】圆心到直线的距离与半径的关系【答案】相交.(二)课堂设计1.知识回顾（1）直线与圆的方程（2）直线与圆的位置关系和等价条件（3）两点间的距离和点到直线的距离公式2.问题探究探究一结合实例，认识圆与直线的平面位置关系★●活动①清楚圆与直线的位置关系我们清楚两个物体在空间位置关系有上下前后左右这几种，那么我们了解在名片上两个图形同样也有上下左右的位置关系.那么圆和直线这两种图形的位置关系我们应该如何称呼呢？首先我们设想自己正在海边观看日出：当看到太阳从海岸线上升起的时候，太阳和地平线之间的位置关系叫什么呢？当看到太阳与海岸线相切的时候呢？太阳完全升起来的时候呢？根据课本知识和图像我们知道直线与圆的位置关系根据两个图形的交点个数可以分为相交、相切、相离三种.请完成下列空格：直线与圆有一个交点称为_____，有两个交点称为_____，没有交点称为____.【答案】相切、相交、相离【设计意图】从实际问题中引入圆与直线位置关系，并运用课本中知识来解答实际问题，巩固预习成果，明确直线与圆的位置关系.●活动②辨析概念、学会根据图像判别直线与圆的位置关系请看图判断直线与圆位置的关系.【答案】相离、相切、相交.【设计意图】通过图片显示直线与圆的位置关系并让同学们加以辨析，明确概念理解与专业名词的运用，加深记忆同时检验预习成果.探究二探究判断圆与直线位置关系的方法●活动①回顾直线与圆的方程大家能够说出直线解析式的通式吗？（抢答）(1)点斜式：11()yykxx(2)斜截式：ykxb(3)两点式：1121212121(,)yyxxyyxxyyxx(4)截距式：1(0,0)xyabab(5)一般式：0AxByC(A，B不同时为0).大家能够说出圆的三种方程吗？（抢答）(1)圆的标准方程：222()()xaybr(2)圆的一般方程：220xyDxEyF(D2＋E2－4F＞0).(3)圆的直径式方程：1212()()()()0xxxxyyyy(圆的直径的两端点是1122(,),(,)AxyBxy.【设计意图】通过回顾直线和圆方程的知识，为后面学习使用代数方法求直线与圆位置关系打下基础.●活动②做例题初步认识代数和几何方法的解题思路已知直线:360lxy圆心为C的圆22240xyy,判断直线l与圆的位置关系.如果相交,求出它们的交点坐标.（书本例题）【设计意图】从课本的例子出发，让同学们初步建立代数方法和几何方法解决此类问题的解题方法和思路.●活动③直线与圆位置关系中的参数取值问题例1已知圆的方程是222xy,直线yxb,当b为何值时,（1）圆与直线有两个公共点；（2）只有一个公共点；（3）没有公共点.【知识点】直线与圆的位置关系、不等式【数学思想】分类讨论【解题过程】联立方程求判别式或者计算距离【思路点拨】判别式法或者圆心到直线的距离与半径比较【答案】（1）22bb或（2）22bb或（3）22b同类训练设m,nR,若直线(1)+(1)2=0mxny与圆22(1)+(y1)=1x相切,则的取+mn值范围（）.A[13,1+3].B(,13][1+3,+).C[222,2+22].D(,222][2+22,+)【知识点】直线与圆的位置关系、不等式【数学思想】方程不等式【解题过程】利用相切求出,mn关系，再用重要不等式求出范围【思路点拨】利用相切找条件【答案】D探究三直线被圆截得的弦长的常用方法★●活动①直接求弦长的方法例2在平面直角坐标系xoy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为5552.【知识点】垂径定理、弦长公式【数学思想】数形结合【解题过程】解法一：因为圆心(2，－1)到直线x＋2y－3＝0的距离|223|3,55d所以直线x＋2y－3＝0被圆截得的弦长为925524.55解法二：利用韦达定理得到直线与圆的两个交点11,yx和22,yx有5525;5262121acxxabxx，利用弦长公式2121kxx求出弦长.【思路点拨】垂径定理、韦达定理【答案】2555同类训练求直线3230xy被圆224xy截得的弦长.【知识点】垂径定理、弦长公式【数学思想】数形结合【解题过程】法一：求出圆心到直线距离，利用垂径定理；法二：韦达定理，弦长公式【思路点拨】垂径定理、韦达定理【答案】2●活动②已知弦长，转化为圆心到直线的距离来求参数例3已知圆02222ayxyx截直线02yx所得弦的长度为4，则实数a的值是().A2B.4C.6D.8【知识点】垂径定理【数学思想】数形结合【解题过程】圆的标准方程为ayx21122，圆心C(－1，1)，半径r满足ar22，则圆心C到直线02yx的距离22,11d所以2r＝4＋2＝2－a.4a【思路点拨】垂径定理【答案】B同类训练已知过点(3,3)M的直线l被圆224210xyy所截得的弦长为45,求直线l的方程.【知识点】直线的点斜式、弦长公式【数学思想】分类讨论、转化思想【解题过程】(0,2),5,r圆心设直线为3(3),330ykxkxyk即，22231245,5,,1klrdddk弦长可得又解得212kk或，所以直线方程为290xy，230xy【思路点拨】再利用垂径定理解决问题【答案】290xy，230xy●活动③过圆内一点的最长弦和最短弦方程问题例4已知圆51422yx，求过圆内一点03，P的最长弦和最短弦所在直线方程【知识点】直线方程、圆的几何性质【数学思想】数形结合【解题过程】圆心(4,1)A，最长弦一定为直径，即直线AP，则最长弦的方程为03yx.最短弦和直径垂直，最长弦即直径所在直线的斜率是1，所以最短弦斜率是-1，过因为过点P，则最短弦的方程为03yx.【思路点拨】利用几何关系得出结论【答案】03yx，03yx同类训练设A为圆1)2()2(22yx上一动点，则A到直线05yx的最大距离为______.【知识点】圆的几何性质【数学思想】数形结合【解题过程】求出圆心到直线的距离15,2d再加上半径，则最大距离5212d【思路点拨】利用几何关系得出结论【答案】5212d●活动②互动交流、初步实践组织课堂讨论：我们能否根据不同的点与圆的位置关系求出切线方程？.我们都知道有这样的结论.过圆222ryx上一点A00,yx的切线方程为200ryyxx在运用这个结论的时候要注意些什么呢？我们可以来看一道例题：例5求过点A1,2向圆422yx所引的切线方程.【知识点】圆的切线【数学思想】分类讨论B00,yx，则过B点的切线方程为40000yyxx，又点A1,2442202000yxyx联立可以解得切点(2,0)B，68(,)55B则最终解得切线方程2x，01043yx.1）当斜率不存在的时候，2x满足；（2）当斜率存在的时候，设切线方程21xky，即012ykkx,∵圆心（0,0）到切线的距离是2，∴22121kk解得34k∴所求切线方程为01043yx.综上所述：切线方程2x，01043yx.【思路点拨】利用结论、求切线的通法【答案】2x，01043yx.同类训练从点(,3),PxxR向圆22(2)(2)1xy作切线，求切线段长度最小的切线方程【知识点】圆的切线【数学思想】数形结合【解题过程】分析可知切线段最小，则点到圆心距离最小的点为所求，即(2,3)P,求得直线为326(2)yx【思路点拨】找出切线段最小的那个点P.【答案】326(2)yx.3.课堂总结知识梳理（1）直线与圆的位置关系根据两个图形的交点个数可以分为相交、相切、相离三种.（2）解决直线与圆位置关系的方法：几何法，代数法.（3）与圆相交的直线被圆所截得的弦长的计算.（4）过点求圆的切线方程的方法.重难点归纳（1）解决直线与圆位置关系题目的方法有代数法和几何法（2）使用直线和圆的方程来计算所截弦长、以及圆的切线方程.（三）课后作业基础型自主突破1.对任意的实数k,直线1ykx与圆222yx的位置关系一定是（）A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心【知识点】直线与圆位置判别【数学思想】数形结合【解题过程】直线1ykx必过点(0,1)【思路点拨】根据该点与圆心的距离和圆半径大小的比较进行判断.【答案】C2.圆012222yxyx上的点到直线2yx的距离最大值是（）A.2B.21C.221D.221【知识点】点到直线距离公式【数学思想】数形结合【解题过程】22(1)(1)1,(1,1),1xyr圆心,圆心到直线距离公式求出圆心到直线的距离12d，再加上半径1，则21d【思路点拨】加上半径是关键.【答案】B.3.直线3ykx与圆22(2)(3)4xy相交于NM,两点，若||MN23，则k的取值范围是()A.3[,0]4B.33[,]33C.[3,3]D.2[,0]3【知识点】已知关系求参数的取值范围【数学思想】转化思想【解题过程】(2,3),2,r圆心直线为