2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第一章-1-第1讲-集合及其运算

知识点最新考纲集合了解集合、元素的含义及其关系．理解集合的表示法．了解集合之间的包含、相等关系．理解全集、空集、子集的含义．会求简单集合间的并集、交集．理解补集的含义并会求补集.命题及其关系、充分条件与必要条件了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及其相互之间的关系．理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.第1讲集合及其运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关子集集合A的所有元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈BA⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子A⊆B，且存在x0∈B，AB系集，且集合B中至少有一个元素不属于Ax0∉A或BA相等集合A，B的元素完全相同A⊆B，B⊆AA＝B空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集任意x，x∉∅，∅⊆A∅3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}4.集合的运算性质(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．(4)∁U(∁UA)＝A；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.()(3){x|x≤1}＝{t|t≤1}．()(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．()(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×[教材衍化]1．(必修1P12A组T3改编)若集合P＝{x∈N|x≤2021}，a＝22，则()A．a∈PB．{a}∈PC．{a}⊆PD．a∉P解析：选D.因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于2021的自然数构成的集合，所以a∉P.故选D.2．(必修1P11例9改编)已知U＝{α|0°α180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则∁U(A∪B)＝________．答案：{x|x是直角}3．(必修1P44A组T5改编)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．解析：集合A表示以(0，0)为圆心，1为半径的单位圆，集合B表示直线y＝x，圆x2＋y2＝1与直线y＝x相交于两点22，22，－22，－22，则A∩B中有两个元素．答案：2[易错纠偏](1)忽视集合中元素的互异性致误；(2)忽视空集的情况致误；(3)忽视区间端点值致误．1．已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________．解析：因为B⊆A，所以m＝3或m＝m，即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知，m≠1，所以m＝0或3.答案：0或32．已知集合M＝{x|x－2＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．解析：易得M＝{2}．因为M∩N＝N，所以N⊆M，所以N＝∅或N＝M，所以a＝0或a＝12.答案：0或123．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝________，A∪B＝________，(∁RA)∪B＝________．解析：由已知得A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，所以A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|1＜x＜4}，(∁RA)∪B＝{x|x≤1或x＞2}．答案：(2，3)(1，4)(－∞，1]∪(2，＋∞)集合的含义(1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1B．3C．6D．9(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝()A．92B．98C．0D．0或98(3)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，ba，b，则b－a＝________．【解析】(1)当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0，1，2.故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B中有6个元素．(2)当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝98.(3)因为{1，a＋b，a}＝0，ba，b，a≠0，所以a＋b＝0，则ba＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.【答案】(1)C(2)D(3)2与集合中的元素有关问题的求解步骤1．(2020·温州八校联考)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为()A．1或－1B．1或3C．－1或3D．1，－1或3解析：选B.因为5∈{1，m＋2，m2＋4}，所以m＋2＝5或m2＋4＝5，即m＝3或m＝±1.当m＝3时，M＝{1，5，13}；当m＝1时，M＝{1，3，5}；当m＝－1时，不满足互异性．所以m的值为3或1.2．已知集合A＝{x|x∈Z，且32－x∈Z}，则集合A中的元素个数为________．解析：因为32－x∈Z，所以2－x的取值有－3，－1，1，3，又因为x∈Z，所以x的值分别为5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4.答案：4集合的基本关系(1)(2020·浙江省绿色联盟联考)已知A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，则集合A可以为()A．{1，8}B．{2，3}C．{0}D．{9}(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．【解析】(1)因为A⊆B，A⊆C，所以A⊆{B∩C}＝{1，8}，故选A.(2)因为B⊆A，所以①若B＝∅，则2m－1m＋1，此时m2.②若B≠∅，则2m－1≥m＋1，m＋1≥－2，2m－1≤5.解得2≤m≤3.由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3.【答案】(1)A(2)(－∞，3]1．(变条件)在本例(2)中，若A⊆B，如何求解？解：若A⊆B，则m＋1≤－2，2m－1≥5，即m≤－3，m≥3.所以m的取值范围为∅.2．(变条件)若将本例(2)中的集合A改为A＝{x|x－2或x5}，如何求解？解：因为B⊆A，所以①当B＝∅时，即2m－1m＋1时，m2，符合题意．②当B≠∅时，m＋1≤2m－1，m＋15或m＋1≤2m－1，2m－1－2，解得m≥2，m4或m≥2，m－12.即m4.综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．1．设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则()A．P⊆QB．Q⊆PC．∁RP⊆QD．Q⊆∁RP解析：选C.因为P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y0}，所以∁RP＝{y|y1}，所以∁RP⊆Q，选C.2．(2020·绍兴调研)设A＝{1，4，2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝________．解析：由B⊆A，则x2＝4，或x2＝2x.当x2＝4时，x＝±2；当x2＝2x时，x＝0或x＝2.但当x＝2时，2x＝4，这与集合中元素的互异性相矛盾．故x＝－2或x＝0.答案：－2或03．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0x5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________．解析：由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，所以满足条件的C可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．答案：4集合的基本运算(高频考点)集合的基本运算是历年高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域等相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题多为低档题．主要命题角度有：(1)求集合间的交、并、补运算；(2)已知集合的运算结果求参数．角度一求集合间的交、并、补运算(1)(2018·高考浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则∁UA＝()A．∅B．{1，3}C．{2，4，5}D．{1，2，3，4，5}(2)(2019·高考浙江卷)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则()∁UA∩B＝()A．{－1}B．{0，1}C．{－1，2，3}D．{－1，0，1，3}(3)(2020·浙江高考模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－20}，B＝{x|1x3}，则A∪B＝________，∁U(A∩B)＝________．【解析】(1)因为U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，所以∁UA＝{2，4，5}．故选C.(2)由题意可得∁UA＝{－1，3}，则(∁UA)∩B＝{－1}．故选A.(3)因为A＝{x|x2－x－20}＝{x|－1x2}，B＝{x|1x3}，所以A∪B＝{x|－1x3}．又因为A∩B＝{x|1x2}，所以∁U(A∩B)＝{x|x≤1或x≥2}．【答案】(1)C(2)A(3)(－1，3)(－∞，1]∪[2，＋∞)角度二已知集合的运算结果求参数(1)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}(2)(2020·浙江新高考优化卷)已知A＝{x|x1}，B＝{x|xm}．若A∪B＝R，则m的值可以是()A．－1B．0C．1D．2【解析】(1)因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1－4＋m＝0，所以m＝3.由x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.所以B＝{1，3}．经检验符合题意．故选C.(2)因为A∪B＝R，所以m1.故m的值可以是2，故选D.【答案】(1)C(2)D(1)集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．[提醒]在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．1．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)＝()A．[2，3]B．(－2，3]C．[1，2)D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选B.由于Q＝{x|x≤－2或x≥2}，∁RQ＝{x|－2＜x＜2}，故得P∪(∁RQ)＝{x|－2＜x≤3}．故选B.2．设全集S＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0}，若∁SA＝{2，3}，则m＝________．解析：因为S＝{1，2，3，4}，∁SA＝{2，3}，所以A＝{1，4}，即1，4是方程x2－5x＋m＝0的两根，由根与系数的关系可得m＝1×4＝4.答案：4核心素养系列1数学抽象——集合的新定义问题以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．对于E＝{a1，a2，…，a100}的子集X＝{ai1，ai2，…，aik}，定义X的“