2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第九章-3-第3讲-圆的方程

第3讲圆的方程1．圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)圆心(a，b)半径为r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0条件：D2＋E2－4F0圆心：－D2，－E2半径r＝12D2＋E2－4F2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.()(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF0.()(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．()(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F0.()答案：(1)√(2)√(3)√(4)×(5)√[教材衍化]1．(必修2P132A组T3改编)以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝1B．(x－3)2＋(y－1)2＝1C．(x＋3)2＋(y－1)2＝1D．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1答案：A2．(必修2P124A组T1改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为________，半径为________．解析：x2＋y2－4x＋6y＝0，得(x－2)2＋(y＋3)2＝13.所以圆心坐标为(2，－3)，半径为13.答案：(2，－3)133．(必修2P124A组T4改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为________．解析：设圆心坐标为C(a，0)，因为点A(－1，1)和B(1，3)在圆C上，所以|CA|＝|CB|，即（a＋1）2＋1＝（a－1）2＋9，解得a＝2，所以圆心为C(2，0)，半径|CA|＝（2＋1）2＋1＝10，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.答案：(x－2)2＋y2＝10[易错纠偏](1)忽视表示圆的充要条件D2＋E2－4F0；(2)错用点与圆的位置关系；(3)不能正确确定圆心坐标．1．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是________．解析：将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得x＋m22＋(y－1)2＝m24－2.由其表示圆可得m24－20，解得m－22或m22.答案：(－∞，－22)∪(22，＋∞)2．若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．解析：因为点(1，1)在圆内，所以(1－a)2＋(a＋1)24，即－1a1.答案：(－1，1)3．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________．解析：由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a，1)(a0)，又圆与直线4x－3y＝0相切，所以|4a－3|5＝1，解得a＝2或a＝－12(舍去)．所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.答案：(x－2)2＋(y－1)2＝1求圆的方程(高频考点)求圆的方程是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度较小．主要命题角度有：(1)由已知条件求圆的方程；(2)由圆的方程确定参数的值(范围)．角度一由已知条件求圆的方程(1)圆心在曲线y＝2x(x0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为()A．(x－1)2＋(y－2)2＝5B．(x－2)2＋(y－1)2＝5C．(x－1)2＋(y－2)2＝25D．(x－2)2＋(y－1)2＝25(2)(2020·浙江百校联盟联考)经过点A(5，2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________．【解析】(1)由圆心在曲线y＝2x(x0)上，设圆心坐标为a，2a，a0.又因为圆与直线2x＋y＋1＝0相切，所以圆心到直线的距离d＝2a＋2a＋15≥4＋15＝5，当且仅当2a＝2a，即a＝1时取等号．所以圆心坐标为(1，2)，圆的半径的最小值为5，则所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.(2)因为圆过A(5，2)，B(3，－2)两点，所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上．易知线段AB的垂直平分线方程为y＝－12(x－4)．设所求圆的圆心为C(a，b)，则有2a－b－3＝0，b＝－12（a－4），解得a＝2，b＝1，所以C(2，1)，所以半径r＝|CA|＝（5－2）2＋（2－1）2＝10，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.【答案】(1)A(2)(x－2)2＋(y－1)2＝10角度二由圆的方程确定参数的值(范围)(1)设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0a1，则原点与圆的位置关系是()A．原点在圆上B．原点在圆外C．原点在圆内D．不确定(2)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是__________，半径是__________．【解析】(1)将圆的一般方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0a1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)20，即（0＋a）2＋（0＋1）22a，所以原点在圆外．(2)由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋52＝0，配方得x＋122＋(y＋1)2＝－540，不表示圆；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.【答案】(1)B(2)(－2，－4)5求圆的方程的两种方法(1)直接法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．1．(2020·宁波十校联考)若a∈－2，0，1，34，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：选B.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的条件为a2＋4a2－4(2a2＋a－1)0，即3a2＋4a－40，解得－2a23.又a∈－2，0，1，34，所以仅当a＝0时，方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆．2．圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为23，则圆C的标准方程为__________________．解析：设圆C的圆心为(a，b)(b0)，由题意得a＝2b0，且a2＝(3)2＋b2，解得a＝2，b＝1.所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.答案：(x－2)2＋(y－1)2＝43．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为455，则圆C的方程为________．解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝2a5＝455，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝4＋5＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.答案：(x－2)2＋y2＝9与圆有关的最值问题(高频考点)与圆有关的最值问题是高考命题的热点，多以选择题，填空题的形式出现，试题难度为中等．主题命题角度有：(1)借助几何性质求最值；(2)建立函数关系求最值．角度一借助几何性质求最值已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值．【解】原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆．(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3(如图1)．所以yx的最大值为3，最小值为－3.(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6(如图2)．所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.(变问法)在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值．解：x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)．又圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.角度二建立函数关系求最值(2020·义乌模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则PA→·PB→的最大值为________．【解析】由题意，知PA→＝(2－x，－y)，PB→＝(－2－x，－y)，所以PA→·PB→＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以PA→·PB→＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，PA→·PB→的值最大，最大值为6×4－12＝12.【答案】12求解与圆有关的最值问题的方法1．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．解析：切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3，0)到直线的距离为d＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d2－r2＝8－1＝7.答案：72．(2020·杭州学军中学高三调研)已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，则n－3m＋2的最大值为________，最小值为________．解析：因为x2＋y2－4x－14y＋45＝0的圆心C(2，7)，半径r＝22，记点Q(－2，3)．因为n－3m＋2表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，则n－3m＋2＝k.由直线MQ与圆C有公共点，所以|2k－7＋2k＋3|1＋k2≤22.可得2－3≤k≤2＋3，所以n－3m＋2的最大值为2＋3，最小值为2－3.答案：2＋32－33．设圆x2＋y2＝2的切线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，当|AB|取最小值时，切线l的方程为________________．解析：设点A，B的坐标分别为A(a，0)，B(0，b)(a0，b0)，则直线AB的方程为xa＋yb＝1，即bx＋ay－ab＝0.因为直线AB和圆相切，所以圆心到直线AB的距离d＝|－ab|a2＋b2＝2，即2(a2＋b2)＝(ab)2≥4ab，所以ab≥4，当且仅当a＝b时取等号．又|AB|＝a2＋b2＝ab2≥22，所以|AB|的最小值为22，此时a＝b，即a＝b＝2，切线l的方程为x2＋y2＝1，即x＋y－2＝0.答案：x＋y－2＝0与圆有关的轨迹问题已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．【解】