2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第九章-9-第9讲-曲线与方程

第9讲曲线与方程1．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．2．曲线的交点设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组F1（x，y）＝0，F2（x，y）＝0的实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点．3．求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系；(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)；(3)列式——列出动点P所满足的关系式；(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，并化简；(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．()(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．()(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．()(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．()(5)y＝kx与x＝1ky表示同一直线．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×[教材衍化]1．(选修2­1P37练习T3改编)已知点F14，0，直线l：x＝－14，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线解析：选D.由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．2．(选修2­1P35例1改编)曲线C：xy＝2上任一点到两坐标轴的距离之积为________．解析：在曲线xy＝2上任取一点(x0，y0)，则x0y0＝2，该点到两坐标轴的距离之积为|x0||y0|＝|x0y0|＝2.答案：23．(选修2­1P37A组T4改编)已知⊙O的方程为x2＋y2＝4，过M(4，0)的直线与⊙O交于A，B两点，则弦AB的中点P的轨迹方程为________．解析：根据垂径定理知：OP⊥PM，所以P点轨迹是以OM为直径的圆且在⊙O内的部分．以OM为直径的圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，它与⊙O的交点为(1，±3)．结合图形可知所求轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1)．答案：(x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1)[易错纠偏](1)混淆“轨迹”与“轨迹方程”出错；(2)忽视轨迹方程的“完备性”与“纯粹性”．1．(1)平面内与两定点A(2，2)，B(0，0)距离的比值为2的点的轨迹是________．(2)设动圆M与y轴相切且与圆C：x2＋y2－2x＝0相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．解析：(1)设动点坐标为(x，y)，则（x－2）2＋（y－2）2x2＋y2＝2，整理得3x2＋3y2＋4x＋4y－8＝0，所以满足条件的点的轨迹是圆．(2)若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点C(1，0)与到定直线x＝－1的距离相等，其轨迹是抛物线，且p2＝1，所以其方程为y2＝4x(x＞0)；若动圆在y轴左侧，则圆心轨迹是x轴负半轴，其方程为y＝0(x＜0)．故动圆圆心M的轨迹方程为y2＝4x(x＞0)或y＝0(x＜0)．答案：(1)圆(2)y2＝4x(x＞0)或y＝0(x＜0)2．已知A(－2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是________．解析：由角的平分线性质定理得|PA|＝2|PB|，设P(x，y)，则（x＋2）2＋y2＝2（x－1）2＋y2，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)．答案：(x－2)2＋y2＝4(y≠0)定义法求轨迹方程已知A(－5，0)，B(5，0)，动点P满足|PB→|，12|PA→|，8成等差数列，则点P的轨迹方程为________．【解析】由已知得|PA→|－|PB→|＝8，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a＝4，b＝3，c＝5，所以点P的轨迹方程为x216－y29＝1(x≥4)．【答案】x216－y29＝1(x≥4)(变条件)若将本例中的条件“|PB→|，12|PA→|，8”改为“|PA→|，12|PB→|，8”，求点P的轨迹方程．解：由已知得|PB→|－|PA→|＝8，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支，且a＝4，b＝3，c＝5，所以点P的轨迹方程为x216－y29＝1(x≤－4)．定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程；(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．1．(2020·浙江名校联考)已知△ABC的顶点B(0，0)，C(5，0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为__________________．解析：设A(x，y)，由题意可知Dx2，y2.又因为|CD|＝3，所以x2－52＋y22＝9，即(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三点不共线，所以点A不能落在x轴上，即y≠0，所以点A的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．答案：(x－10)2＋y2＝36(y≠0)2．(2020·杭州七校模拟)已知动圆C过点A(－2，0)，且与圆M：(x－2)2＋y2＝64相内切．求动圆C的圆心的轨迹方程．解：圆M：(x－2)2＋y2＝64，圆心M的坐标为(2，0)，半径R＝8.因为|AM|＝4R，所以点A(－2，0)在圆M内．设动圆C的半径为r，依题意得r＝|CA|，且|CM|＝R－r，即|CM|＋|CA|＝8|AM|.所以圆心C的轨迹是中心在原点，焦点为A，M，长轴长为8的椭圆，设其方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则a＝4，c＝2.所以b2＝a2－c2＝12.所以动圆C的圆心的轨迹方程为x216＋y212＝1.直接法求轨迹方程(高频考点)直接法求点的轨迹方程是求轨迹方程的一种重要方法，也是高考考查的重要内容．主要命题角度有：(1)已知动点满足的关系式求轨迹方程(或判断轨迹)；(2)无明确等量关系求轨迹方程．角度一已知动点满足的关系式求轨迹方程(或判断轨迹)已知点F(0，1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且QP→·QF→＝FP→·FQ→，则动点P的轨迹C的方程为()A．x2＝4yB．y2＝3xC．x2＝2yD．y2＝4x【解析】设点P(x，y)，则Q(x，－1)．因为QP→·QF→＝FP→·FQ→，所以(0，y＋1)·(－x，2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，所以动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.【答案】A角度二无明确等量关系求轨迹方程(2020·金华十校联考)已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求直角顶点C的轨迹方程．【解】法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝yx＋1，kBC＝yx－3，所以yx＋1·yx－3＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．直接法求曲线方程的一般步骤(1)建立合理的直角坐标系；(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程；(3)化简整理这个方程，检验并说明所求的方程就是曲线的方程．直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性．[提醒]对方程化简时，只要前后方程解集相同，证明一步可以省略，必要时可说明x，y的取值范围．1．已知|AB|＝2，动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹方程为________．解析：如图所示，以AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)．设P(x，y)，因为|PA|＝2|PB|，所以（x＋1）2＋y2＝2（x－1）2＋y2，整理得x2＋y2－103x＋1＝0，即x－532＋y2＝169.所以动点P的轨迹方程为x－532＋y2＝169.答案：x－532＋y2＝1692．如图，过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴非负半轴于A点，l2交y轴非负半轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．解：设点M的坐标为(x，y)．因为M(x，y)为线段AB中点，所以点A，B的坐标分别为A(2x，0)，B(0，2y)．当x≠1时，因为l1⊥l2，且l1，l2过点P(2，4)，所以kPA·kPB＝－1，即0－42x－2·2y－40－2＝－1(x≠1)，化简得x＋2y－5＝0(x≠1)．当x＝1时，A，B分别为(2，0)，(0，4)，所以线段AB的中点为(1，2)，满足方程x＋2y－5＝0(x≥0，y≥0)．综上得M的轨迹方程为x＋2y－5＝0(x≥0，y≥0)．利用相关点法(代入法)求轨迹方程(2020·杭州模拟)已知点Q在椭圆C：x216＋y210＝1上，点P满足OQ→＝12(OF1→＋OP→)(其中O为坐标原点，F1为椭圆C的左焦点)，则点P的轨迹为()A．圆B．抛物线C．双曲线D．椭圆【解析】因为点P满足OQ→＝12(OF1→＋OP→)，所以Q是线段PF1的中点．设P(x1，y1)，由于F1为椭圆C：x216＋y210＝1的左焦点，则F1(－6，0)，故Qx1－62，y12，由点Q在椭圆C：x216＋y210＝1上，则点P的轨迹方程为（x1－6）264＋y2140＝1，故点P的轨迹为椭圆．【答案】D1．(2020·浙江名校联考)已知双曲线x22－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同于A1，A2的两个不同的动点，则直线A1P与A2Q交点的轨迹方程为________．解析：由题设知|x1|2，A1(－2，0)，A2(2，0)，则有直线A1P的方程为y＝y1x1＋2(x＋2)，①直线A2Q的方程为y＝－y1x1－2(x－2)，②联立①②，解得x＝2x1，y＝2y1x1，所以x1＝2x，y1＝2yx，③所以x≠0，且|x|2，因为点P(x1，y1)在双曲线x22－y2＝1上，所以x212－y21＝1.将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为x22＋y2＝1(x≠0，且x≠±2)．答案：x22＋y2＝1(x≠0，且x≠±2)2．设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x22＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP→＝2NM→.求点P的轨迹方程．解：设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)，NP→＝(x－x0，y)，NM→＝(0，y0)．由NP→＝2NM→得x0＝x，y0＝22y.因为M(x0，y0)在C上，所以x22＋y22＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.[基础题组练]1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是()A．一条直线和一条双曲线B．两条双曲线C．两个点D．以上答案都不对解析：选C.(x－y)2＋(xy－1)2＝0⇔x－y＝0，xy－1＝0.故x＝1，y＝1或x＝－1，y＝－1.2．到点F(0，4)的距离比到直线y＝－5的距离小1的动点M的轨迹方程为()A．y＝16x2B．y＝－16x2C