2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第九章-7-第7讲-抛物线

第7讲抛物线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋p2|PF|＝－x0＋p2|PF|＝y0＋p2|PF|＝－y0＋p2[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()(3)若一抛物线过点P(－2，3)，则其标准方程可写为y2＝2px(p0)．()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×[教材衍化]1．(选修2­1P72练习T1改编)过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－92x或x2＝43yB．y2＝92x或x2＝43yC．y2＝92x或x2＝－43yD．y2＝－92x或x2＝－43y解析：选A.设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－92，m＝43，所以y2＝－92x或x2＝43y.故选A.2．(选修2­1P73A组T3改编)抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点P有()A．0个B．1个C．2个D．4个解析：选C.设P(x1，y1)，则|PF|＝x1＋2＝5，y21＝8x1，所以x1＝3，y1＝±26.故满足条件的点P有两个．故选C.[易错纠偏](1)忽视抛物线的标准形式；(2)忽视p的几何意义；(3)易忽视焦点的位置出现错误．1．抛物线8x2＋y＝0的焦点坐标为()A．(0，－2)B．(0，2)C.0，－132D.0，132解析：选C.由8x2＋y＝0，得x2＝－18y.2p＝18，p＝116，所以焦点为0，－132，故选C.2．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()A．y2＝±22xB．y2＝±2xC．y2＝±4xD．y2＝±42x解析：选D.由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p＞0)，则p2＝2，所以p＝22，所以抛物线方程为y2＝±42x.故选D.3．若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标准方程为________．解析：令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4.所以抛物线的焦点是(4，0)或(0，－2)，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y.答案：y2＝16x或x2＝－8y抛物线的定义、标准方程与应用(高频考点)抛物线的定义是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式出现，个别高考题有一定难度．主要命题角度有：(1)求抛物线的标准方程；(2)求抛物线上的点与焦点的距离；(3)求距离和的最值．角度一求抛物线的标准方程已知动圆过定点Fp2，0，且与直线x＝－p2相切，其中p0，则动圆圆心的轨迹E的方程为________．【解析】依题意得，圆心到定点Fp2，0的距离与到直线x＝－p2的距离相等，由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹E为抛物线，其方程为y2＝2px.【答案】y2＝2px角度二求抛物线上的点与焦点的距离已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝____________．【解析】法一：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线x＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b0)，所以a＝1，b＝±22，所以N(0，±42)，|FN|＝4＋32＝6.法二：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线x＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，则点M的横坐标为1，所以|MF|＝1－(－2)＝3，|FN|＝2|MF|＝6.【答案】6角度三求距离和的最值已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．【解析】如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|，则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.【答案】4(变条件)若本例中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．解：由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝16＋4＝25.即|PB|＋|PF|的最小值为25.抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.1．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP→＝4FQ→，则|QF|＝()A.72B.52C．3D．2解析：选C.因为FP→＝4FQ→，所以|FP→|＝4|FQ→|，所以|PQ||PF|＝34.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则|AF|＝4，所以|PQ||PF|＝|QQ′||AF|＝34，所以|QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QF|＝|QQ′|＝3.2.如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是()A.|BF|－1|AF|－1B.|BF|2－1|AF|2－1C.|BF|＋1|AF|＋1D.|BF|2＋1|AF|2＋1解析：选A.由题图可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知△BCF与△ACF的面积之比就等于|BC||AC|.由抛物线方程知焦点F(1，0)，作准线l，如图所示，则l的方程为x＝－1.因为点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.在△CAN中，BM∥AN，所以|BC||AC|＝|BM||AN|＝|BF|－1|AF|－1.抛物线的性质及应用(1)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为()A．2B．4C．6D．8(2)(2020·宁波模拟)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A．2B.12C.14D.18【解析】(1)由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，由|AB|＝42，|DE|＝25，可取A4p，22，D－p2，5，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得16p2＋8＝p24＋5，得p＝4，所以选B.(2)由题意知x2＝12y，则F0，18，设P(x0，2x20)，则|PF|＝x20＋2x20－182＝4x40＋12x20＋164＝2x20＋18，所以当x20＝0时，|PF|min＝18.【答案】(1)B(2)D抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质以形助数．1．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0＝()A．1B．2C．4D．8解析：选A.由题意知抛物线的准线为x＝－14.因为|AF|＝54x0，根据抛物线的定义可得x0＋14＝|AF|＝54x0，解得x0＝1.2．(2020·浙江省名校协作体高三联考)抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为43，则抛物线的方程为()A．y2＝6xB．y2＝8xC．y2＝16xD．y2＝15x2解析：选B.设M(x，y)，因为|OF|＝p2，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p，由抛物线定义知x＋p2＝2p，所以x＝32p，所以y＝±3p，又△MFO的面积为43，所以12×p2×3p＝43，解得p＝4(p＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y2＝8x.3．(2020·杭州中学高三月考)设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A(0，2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则F到l的距离为________，|FB|＝________．解析：依题意可知F点坐标为p2，0，所以B点坐标为p4，1，代入抛物线方程解得p＝2，所以F到l的距离为2，|FB|＝p4＋p2＝324.答案：2324抛物线与圆的交汇(1)设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C交于A，B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为()A．相离B．相切C．相交但不经过圆心D．相交且经过圆心(2)(2020·杭州市高三模拟)已知点A是抛物线y2＝2px(p0)上一点，F为其焦点，以F为圆心，以|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，△FBC为正三角形，且△ABC的面积是1283，则抛物线的方程为()A．y2＝12xB．y2＝14xC．y2＝16xD．y2＝18x【解析】(1)设圆心为M，过点A，B，M作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，M1，则|MM1|＝12(|AA1|＋|BB1|)．由抛物线定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，所以|AB|＝|BB1|＋|AA1|，|MM1|＝12|AB|，即圆心M到准线的距离等于圆的半径，故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(2)由题意，如图可得|DF||BF|＝cos30°及|DF|＝p，可得|BF|＝2p3，从而|AF|＝2p3，由抛物线的定义知点A到准线的距离也为2p3，又因为△ABC的面积为1283，所以12×2p3×2p3＝1283，解得p＝8，故抛物线的方程为y2＝16x.【答案】(1)B(2)C解抛物线与圆的交汇问题的方法(1)利用圆的几何特征与抛物线的几何特征相结合，转化为两者的元素关系列出相应关系式．(2)利用圆的定义与抛物线的定义相结合建立相关的代数关系是求解圆与抛物线综合问题的有效方法．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上的一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A．(0，2)B．[0，2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)解析：选C.设圆的半径为r，因为F(0，2)是圆心，抛物线C的准线方程为y＝－2，由圆与准线相交知r4，因为点M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上的一点，所以r＝|FM|＝y0＋2＞4，所以y0＞2.[基础题组练]1．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－43B．－1C．－34D．－12解析：选C.由已知得准线方程为x＝－2，所以F的坐标为(2，0)．又A(－2，3)，所以直线AF的斜率k＝3－0－2－2＝－34.2．已知抛物线C1：x2＝2py(p0)的准线与抛物线C2：x2＝－2py(p0)交于A，B两点，C1的焦点为F，若△FAB的面积等于1，则C1的方程是()A．x2＝2yB．x2＝2yC．x2＝yD．x2＝