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第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交drΔ0相切d＝rΔ＝0相离drΔ02.圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r10)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r20)．方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离dr1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|dr1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d|r1－r2|(r1≠r2)无解[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．()(2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．()(3)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．()(4)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√[教材衍化]1．(必修2P128练习T4改编)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是________．解析：由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为2，所以|a－0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.答案：[－3，1]2．(必修2P133A组T9)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．解析：由x2＋y2－4＝0，x2＋y2－4x＋4y－12＝0，得两圆公共弦所在直线为x－y＋2＝0.又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为22＝2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为22.答案：22[易错纠偏](1)忽视分两圆内切与外切两种情形；(2)忽视切线斜率k不存在的情形；(3)求弦所在直线的方程时遗漏一解．1．若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝________．解析：两圆的圆心距d＝（－4）2＋a2，由两圆相切(外切或内切)，得（－4）2＋a2＝5＋1或（－4）2＋a2＝5－1，解得a＝±25或a＝0.答案：±25或02．已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3，1)作圆C的切线，则切线方程为________．解析：由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k，所以切线方程为y－1＝k(x－3)，所以kx－y＋1－3k＝0，所以|k×0－0＋1－3k|k2＋（－1）2＝3，所以k＝－43，所以切线方程为4x＋3y－15＝0.综上，切线方程为x＝3或4x＋3y－15＝0.答案：x＝3或4x＋3y－15＝03．若直线过点P－3，－32且被圆x2＋y2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为________．解析：当直线的斜率不存在时，该直线的方程为x＝－3，代入圆的方程得y＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足题意．当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为y＋32＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－32＝0，则圆心到直线的距离d＝|6k－3|2k2＋1，则252－|6k－3|2k2＋12＝8，解得k＝－34，所以直线方程为3x＋4y＋15＝0.综上所述，所求直线方程为x＝－3或3x＋4y＋15＝0.答案：x＝－3或3x＋4y＋15＝0直线与圆的位置关系(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定(2)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．【解析】(1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，从而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝|a·0＋b·0－1|a2＋b2＝1a2＋b2＜1，所以直线与圆相交．(2)法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)0，解得k∈(－3，3)．法二：圆心(0，0)到直线y＝kx＋2的距离d＝2k2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d1，即2k2＋11，解得k∈(－3，3)．【答案】(1)B(2)k∈(－3，3)(变条件)若将本例(1)的条件改为“点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1上”，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系如何？解：由点M在圆上，得a2＋b2＝1，所以圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2＝1，则直线与圆O相切．[提醒]上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．(2020·衢州模拟)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选C.因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．圆的切线与弦长问题(高频考点)圆的切线与弦长问题，是近年来高考的一个热点，多以选择题、填空题的形式呈现，多为中、低档题目．主要命题角度有：(1)求圆的切线方程；(2)求弦长及切线长；(3)由弦长及切线问题求参数．角度一求圆的切线方程过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A．2x＋y－5＝0B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0D．x－2y－7＝0【解析】因为过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，所以点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，因为圆心与切点连线的斜率k＝1－03－1＝12，所以切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.故选B.【答案】B角度二求弦长及切线长(1)若a，b，c是△ABC三个内角的对边，且csinC＝3asinA＋3bsinB，则直线l：ax－by＋c＝0被圆O：x2＋y2＝12所截得的弦长为()A．46B．26C．6D．5(2)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝________．【解析】(1)因为asinA＝bsinB＝csinC，故由csinC＝3asinA＋3bsinB可得c2＝3(a2＋b2)．圆O：x2＋y2＝12的圆心为O(0，0)，半径为r＝23，圆心O到直线l的距离d＝|c|a2＋b2＝3，所以直线l被圆O所截得的弦长为2r2－d2＝2（23）2－（3）2＝6，故选C.(2)由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，所以圆心C(2，1)在直线x＋ay－1＝0上，所以2＋a－1＝0，所以a＝－1，所以A(－4，－1)．所以|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，所以|AB|2＝40－4＝36.所以|AB|＝6.【答案】(1)C(2)6角度三由弦长及切线问题求参数(1)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为()A．3B.212C．22D．2(2)(2019·高考浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________．【解析】(1)如图，把圆的方程化成标准形式得x2＋(y－1)2＝1，所以圆心为(0，1)，半径为r＝1，四边形PACB的面积S＝2S△PBC，所以若四边形PACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值为1.而S△PBC＝12r·|PB|，即|PB|的最小值为2，此时|PC|最小，|PC|为圆心到直线kx＋y＋4＝0的距离d，此时d＝|5|k2＋1＝12＋22＝5，即k2＝4，因为k0，所以k＝2.(2)法一：设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0.令x＝0，得m＝－2，则r＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝5.法二：因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以m＋10－（－2）×2＝－1，所以m＝－2，r＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝5.【答案】(1)D(2)－25(1)求直线被圆截得的弦长的常用方法①几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2.②代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|＝1＋k2|x1－x2|.(2)圆的切线方程的求法①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.1．直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥23，则k的取值范围是()A.－34，0B.－33，33C．[－3，3]D.－23，0解析：选B.如图，设圆心C(2，3)到直线y＝kx＋3的距离为d，若|MN|≥23，则d2＝r2－12|MN|2≤4－3＝1，即|2k|21＋k2≤1，解得－33≤k≤33.2．(2020·温州中学高三期末)若经过点P(－3，0)的直线l与圆M：x2＋y2＋4x－2y＋3＝0相切，则圆M的圆心坐标是________；半径为________；切线在y轴上的截距是________．解析：圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝2，则圆心坐标为(－2，1)，半径R＝2，设切线斜率为k，过P的切线方程为y＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＝0，则圆心到直线的距离d＝|－2k－1＋3k|1＋k2＝|k－1|1＋k2＝2，平方得k2＋2k＋1＝(k＋1)2＝0，解得k＝－1，此时切线方程为y＝－x－3，即在y轴上的截距为－3.答案：(－2，1)2－33．(2020·杭州市学军中学高三模拟)已知直线l：mx－y＝1，若直线l与直线n：x＋m(m－1)y＝2垂直，则m的值为________，动直线l：mx－y＝1被圆C：x2－2x＋y2－8＝0截得的最短弦长为________．解析：由题意得m－m(m－1)＝0⇒m＝0或m＝2；动直线l：mx－y＝1过定点(0，－1)，而动直线l：mx－y＝1被圆C：(x－1)2＋y2＝9截得的弦长最短时，弦中点恰为(0，－1)，此时弦长为29－（1＋1）＝27.答案：0或227圆与圆的位置关系(1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切B．相交C．外切D．相离(2)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为()A.62B.32C.94D．23【解析】(1)由x2＋y2－2ay＝0，x＋y＝0得两交点为(0，0)，(－a，a)．因为圆M截直线所得线段长度为22，所以a2＋（－a）2＝22.又a0，所以a＝2.所以圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0，2)，半径r1＝2.又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1，1)，半径r2＝1