2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第二章-1-第1讲-函数及其表示

知识点最新考纲函数及其表示了解函数、映射的概念．了解函数的定义域、值域及三种表示法(解析法、图象法和列表法)．了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.函数的基本性质理解函数的单调性、奇偶性，会判断函数的单调性、奇偶性．理解函数的最大(小)值的含义，会求简单函数的最大(小)值.指数函数了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.对数函数理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式．理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.幂函数了解幂函数的概念．掌握幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图象和性质.函数与方程了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.函数模型及其应用了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征．能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决.第1讲函数及其表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A、B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)(x∈A)对应f：A→B是一个映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点．()(2)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．()(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．()(4)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，则对应关系f是从A到B的映射．()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．()(6)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×(6)√[教材衍化]1．(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是()A．y＝(x＋1)2B．y＝3x3＋1C．y＝x2x＋1D．y＝x2＋1解析：选B.对于A，函数y＝(x＋1)2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝x2x＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.2．(必修1P25B组T1改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．答案：[－3，0]∪[2，3][1，5][1，2)∪(4，5]3．(必修1P19T1(2)改编)函数y＝x－2·x＋2的定义域是________．解析：x－2≥0，x＋2≥0，⇒x≥2.答案：[2，＋∞)[易错纠偏](1)对函数概念理解不透彻；(2)换元法求解析式，反解忽视范围．1．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f中不是函数的是________．(填序号)①f：x→y＝12x；②f：x→y＝13x；③f：x→y＝23x；④f：x→y＝x.解析：对于③，因为当x＝4时，y＝23×4＝83∉Q，所以③不是函数．答案：③2．已知f(x)＝x－1，则f(x)＝________．解析：令t＝x，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)．答案：x2－1(x≥0)函数的定义域(1)(2020·杭州学军中学月考)函数f(x)＝x＋2x2lg（|x|－x）的定义域为________．(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝f（2x）x－1的定义域为________．(3)若函数f(x)＝2x2＋2ax－a－1的定义域为R，则a的取值范围为________．【解析】(1)要使函数f(x)有意义，必须使x＋2x2≥0，|x|－x0，|x|－x≠1，解得x－12.所以函数f(x)的定义域为xx－12.(2)由x－1≠0，0≤2x≤2，得0≤x1，即定义域是[0，1)．(3)因为函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.【答案】(1)xx－12(2)[0，1)(3)[－1，0](变条件)若将本例(2)中“函数y＝f(x)”改为“函数y＝f(x＋1)”，其他条件不变，如何求解？解：由函数y＝f(x＋1)的定义域为[0，2]，得函数y＝f(x)的定义域为[1，3]，令1≤2x≤3，x－1≠0，得12≤x≤32且x≠1.所以g(x)的定义域为12，1∪1，32.函数定义域的求解策略(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题．在解不等式组取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a＜g(x)＜b即可求出y＝f(g(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得y＝f(x)的定义域．(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式(组)，然后求解．[提醒](1)求函数定义域时，对函数解析式先不要化简；(2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式．1．(2020·浙江新高考优化卷)函数f(x)＝3x21－x＋lg(－3x2＋5x＋2)的定义域是()A.－13，＋∞B.－13，1C.－13，13D.－∞，－13解析：选B.依题意可得，要使函数有意义，则有1－x0－3x2＋5x＋20，解得－13x1.故选B.2．(2020·浙江新高考预测卷)已知集合A＝{x|y＝x－x2}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则A∪B＝()A．[0，1]B．[0，1)C．(－∞，1]D．(－∞，1)解析：选C.因为由x－x2≥0得0≤x≤1，所以A＝{x|0≤x≤1}．由1－x0得x1，所以B＝{x|x1}，所以A∪B＝{x|x≤1}．故选C.3．若函数f(x)＝mx2＋mx＋1的定义域为实数集，则实数m的取值范围是________．解析：由题意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．当m＝0时，1≥0恒成立；当m≠0时，则m0，Δ＝m2－4m≤0，解得0m≤4.综上可得0≤m≤4.答案：[0，4]求函数的解析式(1)已知fx＋1x＝x2＋1x2，求f(x)的解析式；(2)已知f2x＋1＝lgx，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)；(4)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．【解】(1)(配凑法)由于fx＋1x＝x2＋1x2＝x＋1x2－2，所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2.(2)(换元法)令2x＋1＝t得x＝2t－1，代入得f(t)＝lg2t－1，又x＞0，所以t＞1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg2x－1，x＞1.(3)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以2a＋b＝b＋1，a＋b＝1，解得a＝b＝12.所以f(x)＝12x2＋12x，x∈R.(4)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②①×2－②，得，3f(x)＝2x＋1－2－x.即f(x)＝2x＋1－2－x3.所以f(x)的解析式是f(x)＝2x＋1－2－x3，x∈R.求函数解析式的4种方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(4)解方程组法：已知关于f(x)与f1x或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．[提醒]求解析式时要注意新元的取值范围．1．(2020·杭州学军中学月考)已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)的解析式为f(x)＝__________．解析：法一：设t＝x＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)；代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.故f(x)＝x2－1(x≥1)．法二：因为x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．答案：x2－1(x≥1)2．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)的解析式为f(x)＝________．解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，所以a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c.又因为方程f(x)＝0有两个相等的实根，所以Δ＝4－4c＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.答案：x2＋2x＋1分段函数(高频考点)分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．主要命题角度有：(1)分段函数求值；(2)已知函数值，求参数的值(或取值范围)；(3)与分段函数有关的方程、不等式问题．角度一分段函数求值(2020·杭州萧山中学高三适应性考试)若函数f(x)＝log2x，x0，f（x＋2），x≤0，g(x)＝x2，则f(8)＝________；g[f(2)]＝________；ff12＝________．【解析】f(8)＝log28＝3，g[f(2)]＝g(log22)＝g(1)＝1，ff12＝flog212＝f(－1)＝f(1)＝log21＝0.【答案】310角度二已知函数值求参数的值(或取值范围)(2020·瑞安市龙翔高中高三月考)设函数f(x)＝－2x2＋1（x≥1）log2（1－x）（x1），若f(f(a))＝3，则a＝________．【解析】函数f(x)＝－2x2＋1（x≥1）log2（1－x）（x1），若f(f(a))＝3，当a≥1时，可得f(－2a2＋1)＝3，可得log2(2a2)＝3，解得a＝2.当a1时，可得f(log2(1－a))＝3，log2(1－a)≥1时，可得－