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第9讲函数模型及其应用1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)2.三种函数模型性质比较y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)幂函数增长比直线增长更快．()(2)不存在x0，使ax0xn0logax0.()(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a1)的增长速度．()(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×[教材衍化]1．(必修1P107A组T1改编)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如表：x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是()A．y＝2xB．y＝x2－1C．y＝2x－2D．y＝log2x解析：选D.根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．2．(必修1P102例3改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是()A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元解析：选D.由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为16×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误．3．(必修1P107A组T4改编)用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______．解析：设隔墙的长度为x(0x6)，矩形面积为y，则y＝x×24－4x2＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，所以当x＝3时，y最大．答案：3[易错纠偏](1)对三种函数增长速度的理解不深致错；(2)建立函数模型出错；(3)分段函数模型的分并把握不准．1．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)g(x)h(x)B．g(x)f(x)h(x)C．g(x)h(x)f(x)D．f(x)h(x)g(x)解析：选B.由函数性质知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)f(x)h(x)．故选B.2．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为______万件．解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．答案：183．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100km，票价是0.5元/km，如果超过100km，超过100km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行程千米数x(km)之间的函数关系式是________．解析：由题意可得y＝0.5x，0x≤100，0.4x＋10，x100.答案：y＝0.5x，0x≤100，0.4x＋10，x100应用所给函数模型解决实际问题某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()A．30元B．60元C．28000元D．23000元【解析】设毛利润为L(p)元，则由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．当p∈(0，30)时，L′(p)0，当p∈(30，＋∞)时，L′(p)0，故L(p)在p＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)＝23000.【答案】D应用所给函数模型解决实际问题的关键点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该模型求解实际问题．1．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系式f(x)＝C，0＜x≤A，C＋B（x－A），x＞A.已知某家庭2019年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为()A．11.5元B．11元C．10.5元D．10元解析：选A.根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝12，C＝4，所以f(x)＝4，0＜x≤5，4＋12（x－5），x＞5，所以f(20)＝4＋12(20－5)＝11.5.2．一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析：当t＝0时，y＝a；当t＝8时，y＝ae－8b＝12a，故e－8b＝12.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝18a，e－bt＝18＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16min容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案：16构建函数模型解决实际问题(高频考点)构建函数模型是每年高考的重点，难度中等．主要命题角度有：(1)构建二次函数模型；(2)构建指数函数、对数函数模型；(3)构建分段函数模型；(4)构建y＝x＋ax(a0)模型．角度一构建二次函数模型某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为(30－52R)万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是()A．[4，8]B．[6，10]C．[4%，8%]D．[6%，10%]【解析】根据题意，要使附加税不少于128万元，需30－52R×160×R%≥128，整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8]．【答案】A角度二构建指数函数、对数函数模型某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年【解析】根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{an}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1200，两边同时取对数，得n－1lg2－lg1.3lg1.12，又lg2－lg1.3lg1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，则n4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.【答案】B角度三构建分段函数模型提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)【解】(1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20x≤200时，设v(x)＝ax＋b，再由已知得200a＋b＝0，20a＋b＝60，解得a＝－13，b＝2003.故函数v(x)的表达式为v(x)＝60，0≤x≤20，13（200－x），20x≤200.(2)依题意并由(1)可得f(x)＝60x，0≤x≤20，13x（200－x），20x≤200.当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20x≤200时，f(x)＝13x(200－x)≤13x＋（200－x）22＝100003，当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．所以当x＝100时，f(x)在区间(20，200]上取得最大值100003.综上，当x＝100时，f(x)在区间[]0，200上取得最大值100003≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/时．角度四构建y＝x＋ax(a0)模型要建造一个容积为2400m3，深为6m的长方体无盖水池．池底造价为100元/m2，池壁造价为80元/m2，则最低造价为________(元)．【解析】设水池长为x，则宽为24006x＝400x.则总造价y＝(12x＋4800x)×80＋400×100＝960(x＋400x)＋40000≥960×2x×400x＋40000＝78400(元)．当且仅当x＝400x，即x＝20时，最低造价为78400元．【答案】78400构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝12x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元，则该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解：设该单位每月获利为S，则S＝100x－y＝100x－12x2－200x＋80000＝－12x2＋300x－80000＝－12(x－300)2－35000，因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．核心素养系列4数学建模——函数建模在实际问题中的妙用某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润y(百万元)与年投资