2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第八章-6-第6讲-空间向量的运算及应用

第6讲空间向量的运算及应用1．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb．(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．通常规定0≤〈a，b〉≤π．若〈a，b〉＝π2，则称向量a，b互相垂直，记作a⊥b.(2)两向量的数量积两个非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(3)向量的数量积的性质①a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)；②a⊥b⇔a·b＝0；③|a|2＝a·a＝a2；④|a·b|≤|a||b|.(4)向量的数量积满足如下运算律①(λa)·b＝λ(a·b)；②a·b＝b·a(交换律)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．3．空间向量的坐标运算(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3，a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23.(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB→＝OB→－OA→＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．4．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称AB→为直线l的方向向量，与AB→平行的任意非零向量也是直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．(2)平面的法向量①定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．②确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为n·a＝0，n·b＝0.5．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面．()(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．()(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.()(4)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．()(5)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．()(6)若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√[教材衍化]1.(选修2­1P97A组T2改编)如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则BM→＝________(用a，b，c表示)．解析：BM→＝BB1→＋B1M→＝AA1→＋12(AD→－AB→)＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c.答案：－12a＋12b＋c2．(选修2­1P98A组T3改编)正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．解析：|EF→|2＝EF→2＝(EC→＋CD→＋DF→)2＝EC→2＋CD→2＋DF→2＋2(EC→·CD→＋EC→·DF→＋CD→·DF→)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，所以|EF→|＝2，所以EF的长为2.答案：23．(选修2­1P111练习T3改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D­xyz，设DA＝2，则A(2，0，0)，M(0，0，1)，O(1，1，0)，N(2，1，2)，所以AM→＝(－2，0，1)，ON→＝(1，0，2)，AM→·ON→＝－2＋0＋2＝0，所以AM⊥ON.答案：垂直[易错纠偏]忽视空间向量共线与共面的区别在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是()A．垂直B．平行C．异面D．相交但不垂直解析：选B.由题意得，AB→＝(－3，－3，3)，CD→＝(1，1，－1)，所以AB→＝－3CD→，所以AB→与CD→共线，又AB与CD没有公共点，所以AB∥CD.空间向量的线性运算如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点．(1)化简A1O→－12AB→－12AD→＝________．(2)用AB→，AD→，AA1→表示OC1→，则OC1→＝________．【解析】(1)A1O→－12AB→－12AD→＝A1O→－12(AB→＋AD→)＝A1O→－AO→＝A1O→＋OA→＝A1A→.(2)因为OC→＝12AC→＝12(AB→＋AD→)．所以OC1→＝OC→＋CC1→＝12(AB→＋AD→)＋AA1→＝12AB→＋12AD→＋AA1→.【答案】(1)A1A→(2)12AB→＋12AD→＋AA1→(变问法)若本例条件不变，结论改为：设E是棱DD1上的点，且DE→＝23DD1→，若EO→＝xAB→＋yAD→＋zAA1→，试求x，y，z的值．解：EO→＝ED→＋DO→＝－23DD1→＋12(DA→＋DC→)＝12AB→－12AD→－23AA1→，由条件知，x＝12，y＝－12，z＝－23.用已知向量表示某一向量的方法1．在空间四边形ABCD中，若AB→＝(－3，5，2)，CD→＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则EF→的坐标为()A．(2，3，3)B．(－2，－3，－3)C．(5，－2，1)D．(－5，2，－1)解析：选B.因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，O为坐标原点，所以EF→＝OF→－OE→，OF→＝12(OA→＋OD→)，OE→＝12(OB→＋OC→)．所以EF→＝12(OA→＋OD→)－12(OB→＋OC→)＝12(BA→＋CD→)＝12[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]＝12(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)．2.在三棱锥O­ABC中，点M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量OA→，OB→，OC→表示(1)MG→；(2)OG→.解：(1)MG→＝MA→＋AG→＝12OA→＋23AN→＝12OA→＋23(ON→－OA→)＝12OA→＋23[12(OB→＋OC→)－OA→]＝－16OA→＋13OB→＋13OC→.(2)OG→＝OM→＋MG→＝12OA→－16OA→＋13OB→＋13OC→＝13OA→＋13OB→＋13OC→.共线、共面向量定理的应用已知点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.【证明】(1)连接BG(图略)，则EG→＝EB→＋BG→＝EB→＋12(BC→＋BD→)＝EB→＋BF→＋EH→＝EF→＋EH→，由共面向量定理的推论知，E，F，G，H四点共面．(2)因为EH→＝AH→－AE→＝12AD→－12AB→＝12(AD→－AB→)＝12BD→，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.(1)证明空间三点P、A、B共线的方法①PA→＝λPB→(λ∈R)；②对空间任一点O，OP→＝OA→＋tAB→(t∈R)；③对空间任一点O，OP→＝xOA→＋yOB→(x＋y＝1)．(2)证明空间四点P、M、A、B共面的方法①MP→＝xMA→＋yMB→；②对空间任一点O，OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→；③对空间任一点O，OP→＝xOM→＋yOA→＋zOB→(x＋y＋z＝1)；④PM→∥AB→(或PA→∥MB→或PB→∥AM→)．1．已知a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是()A．2，12B．－13，12C．－3，2D．2，2解析：选A.因为a∥b，所以b＝ka，即(6，2μ－1，2λ)＝k(λ＋1，0，2)，所以6＝k（λ＋1），2μ－1＝0，2λ＝2k，解得λ＝2，μ＝12或λ＝－3，μ＝12.2．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM→＝13(OA→＋OB→＋OC→)．(1)判断MA→，MB→，MC→三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．解：(1)由题知OA→＋OB→＋OC→＝3OM→，所以OA→－OM→＝(OM→－OB→)＋(OM→－OC→)，即MA→＝BM→＋CM→＝－MB→－MC→，所以MA→，MB→，MC→共面．(2)由(1)知，MA→，MB→，MC→共面且基线过同一点M，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．空间向量的数量积如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1→的长；(2)求BD1→与AC→夹角的余弦值．【解】(1)记AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，所以a·b＝b·c＝c·a＝12.|AC1→|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×12＋12＋12＝6，所以|AC1→|＝6，即AC1的长为6.(2)BD1→＝b＋c－a，AC→＝a＋b，所以|BD1→|＝2，|AC→|＝3，BD1→·AC→＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，所以cos〈BD1→，AC→〉＝BD1→·AC→|BD1→||AC→|＝66.即BD1→与AC→夹角的余弦值为66.(1)空间向量数量积计算的两种方法①基向量法：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．②坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.(2)利用数量积解决有关垂直、长度、夹角问题①a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0.②|a|＝a2.③cos〈a，b〉＝a·b|a||b|.1．已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为()A．－2B．－143C.145D．2解析：选D.由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.2．已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．设a＝AB→，b＝AC→.(1)求a和b夹角的余弦值；(2)设|c|＝3，c∥BC→，求c的坐标．解：(1)因为AB→＝(1，1，0)，AC→＝(－1，0，2)，所以a·b＝－1＋0＋0＝－1，|a|＝2，|b|＝5，所以cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－12×5＝－1010.(2)BC→＝(－2，－1，2)．设c＝(x，y，z)，因为|c|＝3，c∥BC→，所以x2＋