2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第二章-3-第3讲-函数的奇偶性、对称性

第3讲函数的奇偶性、对称性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.函数奇偶性的几个重要结论(1)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称．(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．3．函数的对称性(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)关于直线x＝a＋b2对称，特别地，当a＝b＝0时，函数y＝f(x)关于y轴对称，此时函数y＝f(x)是偶函数．(2)若函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x)，则函数y＝f(x)关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，f(x)＝－f(－x)，则函数y＝f(x)关于原点对称，此时函数f(x)是奇函数．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.()(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．()(5)若函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则a＋b＝2.()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)√[教材衍化]1．(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是()A．y＝x2sinxB．y＝x2cosxC．y＝|lnx|D．y＝2－x解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选B.2．(必修1P45B组T6改编)已知函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](ab0)上的值域为[－3，4]，则在区间[－b，－a]上的值域为________．解析：法一：根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知函数f(x)在[－b，－a]上的值域为[－4，3]法二：当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，即－3≤－f(x)≤4，所以－4≤f(x)≤3，即在区间[－b，－a]上的值域为[－4，3]．答案：[－4，3]3．(必修1P45B组T4改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝－4x2＋2，－1≤x0，x，0≤x1，则f32＝________．解析：f32＝f2－12＝f－12＝－4×－122＋2＝1.答案：1[易错纠偏](1)利用奇偶性求解析式时忽视定义域；(2)忽视奇函数的对称性；(3)忽视定义域的对称性．1．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝x2＋4x－3，则函数f(x)的解析式为f(x)＝________．解析：设x0，则－x0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋4(－x)－3]＝－x2＋4x＋3，由奇函数的定义可知f(0)＝0，所以f(x)＝x2＋4x－3，x0，0，x＝0，－x2＋4x＋3，x0.答案：x2＋4x－3，x0，0，x＝0，－x2＋4x＋3，x02.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为________．解析：由题图可知，当0x2时，f(x)0；当2x≤5时，f(x)0，又f(x)是奇函数，所以当－2x0时，f(x)0，当－5≤x－2时，f(x)0.综上，f(x)0的解集为(－2，0)∪(2，5]．答案：(－2，0)∪(2，5]3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝13.又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝13.答案：13判断函数的奇偶性(1)函数y＝|x－4|－49－x2的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数(2)(2020·“七彩阳光”联盟联考)已知函数f(x)＝|e|x|－2e|＋e|x|，g(x)＝3sin2x，下列描述正确的是()A．f(g(x))是奇函数B．f(g(x))是偶函数C．f(g(x))既是奇函数又是偶函数D．f(g(x))既不是奇函数又不是偶函数【解析】(1)由9－x20可得－3x3，所以x－40，f(x)＝|x－4|－49－x2＝4－x－49－x2＝－x9－x2，f(－x)＝|x＋4|－49－x2＝4＋x－49－x2＝x9－x2＝－f(x)，所以函数y＝|x－4|－49－x2是奇函数，故选A.(2)由题意知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(g(－x))＝f(－g(x))＝f(g(x))，故f(g(x))是偶函数．【答案】(1)A(2)B判定函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法①设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提醒](1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同关系时，才能判断其奇偶性．1．设f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是()A．|g(x)|是偶函数B．f(x)g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是偶函数D．f(x)＋g(x)是奇函数解析：选D.f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，f(x)为偶函数．g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，g(x)为奇函数．|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，B正确；f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确；f(x)＋g(x)＝2ex，f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠－(f(x)＋g(x))，且f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠f(x)＋g(x)，所以f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，D错误，故选D.2．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝3－2x＋2x－3；(2)f(x)＝4－x2|x＋3|－3；(3)f(x)＝x2＋x，x＞0，x2－x，x＜0.解：(1)因为函数f(x)＝3－2x＋2x－3的定义域为32，不关于坐标原点对称，所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)由4－x2≥0|x＋3|－3≠0，得－2≤x≤2且x≠0，所以f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称．所以f(x)＝4－x2（x＋3）－3＝4－x2x.所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)是奇函数．(3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x＞0时，f(x)＝x2＋x，则当x＜0时，－x＞0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x＜0时，f(x)＝x2－x，则当x＞0时，－x＜0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．函数奇偶性的应用(1)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________．(2)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于________．【解析】(1)因为f(x)为偶函数，所以f(－x)－f(x)＝0恒成立，所以－xln(－x＋a＋x2)－xln(x＋a＋x2)＝0恒成立，所以xlna＝0恒成立，所以lna＝0，即a＝1.(2)f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2①，f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4②，由①②得，2g(1)＝6，即g(1)＝3.【答案】(1)1(2)3已知函数奇偶性可以解决的4个问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象．1．已知函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为()A．3B．0C．－1D．－2解析：选B.设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sinx，显然F(x)为奇函数，又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，从而f(－a)＝0.故选B.2．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝log3（x＋1），x≥0，g（x），x0，则g(f(－8))＝()A．－1B．－2C．1D．2解析：选A.因为f(x)为奇函数，所以f(－8)＝－f(8)＝－log39＝－2，所以g[f(－8)]＝g(－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－log33＝－1.3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x＜0时，f(x)＝________．解析：当x＜0时，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，所以f(x)＝x(1－x)．答案：x(1－x)函数的对称性(1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当0x1时，f(x)＝2x－1，则f(log29)＝()A．－79B．8C．－10D．－259(2)已知函数f(x)＝ax＋bx－b，其图象关于点(－3，2)对称，则f(2)的值是________．【解析】(1)f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，所以f(x)的图象的对称轴为x＝1，f(log29)＝－flog294，因为1log2942，故flog294＝f2－log294＝flog2169，其中0log21691，所以flog2169＝2log2169－1＝79，故f(log29)＝－79，故选A.(2)因为函数f(x)＝ax＋bx－b＝a＋ab＋bx－b，所以函数的对称中心为(b，a)．又因为函数f(x)＝ax＋bx－b，其图象关于点(－3，2)对称，所以a＝2，b＝－3.所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2x－3x＋3，所以f(2)＝2×2－32＋3＝15.【答案】(1)A(2)15(1)函数满足f(x＋t)＝f(t－x)(或f(x)＝f(2t－x))，则函数关于直线x＝t对称，若函数满足f(x＋2t)＝f(x)，则函数f(x)以2t(t≠0)为周期．(2)若函数y＝f(x)的对称中心为(a，b)，根据函数y＝f(x)图象上任意点关于该对称中心