2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第二章-5-第5讲-指数与指数函数

第5讲指数与指数函数1．根式(1)根式的概念①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n1且n∈N*.式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．②a的n次方根的表示：xn＝a⇒x＝na，当n为奇数且n∈N*，n1时，x＝±na，当n为偶数且n∈N*时.(2)根式的性质①(na)n＝a(n∈N*，且n1)．②nan＝a，n为奇数，|a|＝a，a≥0，－a，a0，n为偶数.2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂：amn＝nam(a0，m，n∈N*，且n1)；②负分数指数幂：a－mn＝1amn＝1nam(a0，m，n∈N*，且n1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．(2)有理数指数幂的运算性质①aras＝ar＋s(a0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈Q)．3．指数函数的图象及性质函数y＝ax(a0，且a≠1)图象0a1a1图象特征在x轴上方，过定点(0，1)当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升性质定义域R值域(0，＋∞)单调性减增函数值变化规律当x＝0时，y＝1当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，0y1；当x0时，y14.指数函数的变化特征在同一平面直角坐标系中，分别作出指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx(a＞1，b＞1，0＜c＜1，0＜d＜1)的图象，如图所示．作出直线x＝1，分别与四个图象自上而下交于点A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，得到底数的大小关系是：a＞b＞1＞c＞d＞0.根据y轴右侧的图象，也可以利用口诀：“底大图高”来记忆．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)nan＝(na)n＝a.()(2)(－1)24＝(－1)12＝－1.()(3)函数y＝a－x是R上的增函数．()(4)函数y＝ax2＋1(a1)的值域是(0，＋∞)．()(5)函数y＝2x－1是指数函数．()(6)若aman(a0，且a≠1)，则mn.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×[教材衍化]1．(必修1P59A组T4改编)化简416x8y4(x0，y0)＝________．解析：因为x0，y0，所以416x8y4＝(16x8·y4)14＝(16)14·(x8)14·(y4)14＝2x2|y|＝－2x2y.答案：－2x2y2．(必修1P55“思考”改编)函数y＝2x与y＝2－x的图象关于________对称．解析：作出y＝2x与y＝2－x＝12x的图象(图略)，观察可知其关于y轴对称．答案：y轴3．(必修1P56例6改编)已知函数f(x)＝ax－2＋2(a0且a≠1)的图象恒过定点A，则A的坐标为________．解析：令x－2＝0，则x＝2，f(2)＝3，即A的坐标为(2，3)．答案：(2，3)[易错纠偏](1)忽略n的范围导致式子nan(a∈R)化简出错；(2)不能正确理解指数函数的概念致错；(3)指数函数问题时刻注意底数的两种情况；(4)复合函数问题容易忽略指数函数的值域致错．1．计算3（1＋2）3＋4（1－2）4＝________．解析：3（1＋2）3＋4（1－2）4＝(1＋2)＋(2－1)＝22.答案：222．若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝________．解析：由题意知0a，a≠1，a2－3＝1，即a＝2.答案：23．若函数f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝________．解析：当a1时，a＝2；当0a1时a－1＝2，即a＝12.答案：2或124．函数y＝21x－1的值域为________．解析：因为1x－1≠0，所以21x－10且21x－1≠1.答案：(0，1)∪(1，＋∞)指数幂的运算化简下列各式：(1)2350＋2－2·214－12－(0.01)0.5；(2)56a13·b－2·－3a－12b－1÷()4a23·b－312(a，b0)．【解】(1)原式＝1＋14×4912－110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝－52a－16b－3÷()4a23·b－312＝－54a－16b－3÷a13b－32＝－54a－12·b－32＝－54·1ab3＝－5ab4ab2.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．[提醒]运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．化简下列各式：(1)(0.027)23＋27125－13－2790.5；(2)14－12·（4ab－1）3（0.1）－1·（a3·b－3）12.解：(1)原式＝0.32＋1252713－259＝9100＋53－53＝9100.(2)原式＝2（4ab－1）3210a32b－32＝16a32b－3210a32b－32＝85.指数函数的图象及应用(1)函数f(x)＝21－x的大致图象为()(2)函数f(x)＝|ax＋b|(a0，a≠1，b∈R)的图象如图所示，则a＋b的取值范围是________．(3)若方程|3x－1|＝k有一解，则k的取值范围为________．【解析】(1)函数f(x)＝21－x＝2×12x，单调递减且过点(0，2)，选项A中的图象符合要求．(2)因为根据图象得a1，f(12)＝0，b0.所以a＋b＝0，所以a＋b＝a－a1－1＝0.(3)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解．【答案】(1)A(2)(0，＋∞)(3){0}∪[1，＋∞)应用指数函数图象的4个技巧(1)画指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，－1，1a.(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(4)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．1．函数y＝xax|x|(a1)的图象大致是()解析：选B.y＝ax，x0，－ax，x0，因为a1，依据指数函数的图象特征可知选B.2．若函数y＝21－x＋m的图象不经过第一象限，则m的取值范围为________．解析：y＝12x－1＋m，函数y＝12x－1的图象如图所示，则要使其图象不经过第一象限，则m≤－2.答案：(－∞，－2]指数函数的性质及应用(高频考点)指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：(1)比较指数式的大小；(2)解简单的指数方程或不等式；(3)复合函数的单调性；(4)函数的值域(最值)．角度一比较指数式的大小设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．acbC．bacD．bca【解析】因为函数y＝0.6x是减函数，00.61.5，所以10.60.60.61.5，即ba1.因为函数y＝1.5x在(0，＋∞)上是增函数，0.60，所以1.50.61.50＝1，即c1.综上，bac.【答案】C角度二解简单的指数方程或不等式设函数f(x)＝12x－7，x0，x，x≥0，若f(a)1，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3)B．(1，＋∞)C．(－3，1)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)【解析】当a0时，不等式f(a)1可化为12a－71，即12a8，即12a12－3，因为0121，所以a－3，此时－3a0；当a≥0时，不等式f(a)1可化为a1，所以0≤a1.故a的取值范围是(－3，1)．故选C.【答案】C角度三复合函数的单调性(1)函数f(x)＝12－x2＋2x＋1的单调减区间为________．(2)(2020·金华十校联考)若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．【解析】(1)设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝12u在R上为减函数，所以函数f(x)＝12－x2＋2x＋1的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，所以f(x)的减区间为(－∞，1]．(2)因为f(x)＝2|x－a|，所以f(x)的图象关于x＝a对称．又由f(1＋x)＝f(1－x)，知f(x)的图象关于直线x＝1对称，故a＝1，且f(x)的增区间是[1，＋∞)，由函数f(x)在[m，＋∞)上单调递增，知[m，＋∞)⊆[1，＋∞)，所以m≥1，故m的最小值为1.【答案】(1)(－∞，1](2)1角度四函数的值域(最值)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a0，a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为()A.13B．1C．3D.13或3【解析】令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈1a，a，又函数y＝(t＋1)2－2在1a，a上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)．当0a1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈a，1a，又函数y＝(t＋1)2－2在a，1a上单调递增，则ymax＝1a＋12－2＝14，解得a＝13(负值舍去)．综上知a＝3或a＝13.【答案】D有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题，常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)求解简单的指数不等式问题，应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．[提醒]在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．1．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________．解析：当a＞1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1，0]上为增函数，由题意得a－1＋b＝－1，a0＋b＝0无解．当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1，0]上为减函数，由题意得a－1＋b＝0，a0＋b＝－1，解得a＝12，b＝－2，所以a＋b＝－32.答案：－322．已知函数f(x)＝－12x，a≤x0，－x2＋2x，0≤x≤4的值域是[－8，1]，则实数a的取值范围是________．解析：当0≤x≤4时，f(x)∈[－8，1]，当a≤x0时，f(x)∈－12a，－1，所以－12a，－1[－8，1]，即－8≤－12a－1，即－3≤a0，所以实数a的取值范围是[－3，0)．答案：[－3，0)[基础题组练