2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第二章-7-第7讲-函数的图象

第7讲函数的图象1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换①y＝f(x)――――――→关于x轴对称y＝－f(x)；②y＝f(x)――――――→关于y轴对称y＝f(－x)；③y＝f(x)――――――→关于原点对称y＝－f(－x)；④y＝ax(a＞0且a≠1)――→关于y＝x对称y＝logax(x＞0)．(3)翻折变换①y＝f(x)――――――――――→保留x轴及上方图象将x轴下方图象翻折上去y＝|f(x)|．②y＝f(x)――――――――――――→保留y轴及右边图象，并作其关于y轴对称的图象y＝f(|x|)．(4)伸缩变换①y＝f(x)a＞1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0＜a＜1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变→y＝f(ax)．②y＝f(x)a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变→y＝af(x)．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．()(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a0且a≠1)的图象相同．()(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．()(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．()(5)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×[教材衍化]1．(必修1P35例5改编)函数f(x)＝x＋1x的图象关于()A．y轴对称B．x轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称解析：选C.函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，故选C.2．(必修1P36练习T2改编)已知图①中的图象是函数y＝f(x)的图象，则图②中的图象对应的函数可能是()A．y＝f(|x|)B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|)D．y＝－f(－|x|)解析：选C.因为图②中的图象是在图①的基础上，去掉函数y＝f(x)的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧得来的，所以图②中的图象对应的函数可能是y＝f(－|x|)．故选C.3.(必修1P75A组T10改编)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________．解析：在同一坐标系内作出y＝f(x)和y＝log2(x＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1，1]．答案：(－1，1][易错纠偏](1)函数图象的平移、伸缩法则记混出错；(2)不注意函数的定义域出错．1．设f(x)＝2－x，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y＝x对称，h(x)的图象由g(x)的图象向右平移1个单位得到，则h(x)＝________．解析：与f(x)的图象关于直线y＝x对称的图象所对应的函数为g(x)＝－log2x，再将其图象右移1个单位得到h(x)＝－log2(x－1)的图象．答案：－log2(x－1)2．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝log2f(x)的定义域是________．解析：当f(x)＞0时，函数g(x)＝log2f(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)＞0时，x∈(2，8]．答案：(2，8]作函数的图象分别作出下列函数的图象．(1)y＝2x＋2；(2)y＝|lgx|；(3)y＝x＋2x－1.【解】(1)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图所示．(2)y＝lgx，x≥1，－lgx，0x1.图象如图所示．(3)因为y＝1＋3x－1，先作出y＝3x的图象，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得y＝x＋2x－1的图象，图象如图所示．(变条件)将本例(3)的函数变为“y＝x＋2x＋3”，函数的图象如何？解：y＝x＋2x＋3＝1－1x＋3，该函数图象可由函数y＝－1x向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示．函数图象的画法分别作出下列函数的图象．(1)y＝|x－2|(x＋1)；(2)y＝12|x|；(3)y＝log2|x－1|.解：(1)当x≥2，即x－2≥0时，y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝x－122－94；当x2，即x－20时，y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－x－122＋94.所以y＝x－122－94，x≥2，－x－122＋94，x2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．(2)作出y＝12x的图象，保留y＝12x图象中x≥0的部分，加上y＝12x的图象中x0部分关于y轴的对称部分，即得y＝12|x|的图象，如图中实线部分．(3)作y＝log2|x|的图象，再将图象向右平移一个单位，如图，即得到y＝log2|x－1|的图象．函数图象的识别(高频考点)函数图象的识别是每年高考的重点，题型为选择题，难度适中．主要命题角度有：(1)知式选图；(2)知图选式；(3)由实际问题的变化过程探究函数图象．角度一知式选图(1)(2019·高考浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y＝1ax，y＝logax＋12(a0，且a≠1)的图象可能是()(2)(2018·高考浙江卷)函数y＝2|x|sin2x的图象可能是()【解析】(1)通解：若0a1，则函数y＝1ax是增函数，y＝logax＋12是减函数且其图象过点12，0，结合选项可知，选项D可能成立；若a1，则y＝1ax是减函数，而y＝logax＋12是增函数且其图象过点12，0，结合选项可知，没有符合的图象，故选D.优解：分别取a＝12和a＝2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知选D.(2)设f(x)＝2|x|sin2x，其定义域关于坐标原点对称，又f(－x)＝2|－x|·sin(－2x)＝－f(x)，所以y＝f(x)是奇函数，故排除选项A，B；令f(x)＝0，所以sin2x＝0，所以2x＝kπ(k∈Z)，所以x＝kπ2(k∈Z)，故排除选项C.故选D.【答案】(1)D(2)D角度二知图选式(2020·温州高三质检)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝ln|x|xB．f(x)＝exxC．f(x)＝1x2－1D．f(x)＝x－1x【解析】由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C.若函数为f(x)＝x－1x，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D，故选A.【答案】A角度三由实际问题的变化过程探究函数图象如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为()【解析】当x∈[0，π4]时，f(x)＝tanx＋4＋tan2x，图象不会是直线段，从而排除A，C.当x∈[π4，3π4]时，f(π4)＝f(3π4)＝1＋5，f(π2)＝22.因为22＜1＋5，所以f(π2)＜f(π4)＝f(3π4)，从而排除D，故选B.【答案】B识别函数图象的方法技巧函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．[提醒]由实际情景探究函数图象，关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．1．函数f(x)＝x－1x·cosx(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为()ABCD解析：选D.函数f(x)＝(x－1x)cosx(－π≤x≤π且x≠0)为奇函数，排除选项A，B；当x＝π时，f(x)＝(π－1π)·cosπ＝1π－π＜0，排除选项C，故选D.2．(2020·金华名校高三第二次统练)已知函数f(x)＝1ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则a＋b＋c＝()A．－6B．6C．－3D．3解析：选C.由直线x＝2，x＝4，知ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－4)，又由二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称性和图象知顶点为(3，1)，则a＝－1，故b＝6，c＝－8，则a＋b＋c＝－3.3.如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB交AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是()解析：选C.当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C.函数图象的应用(高频考点)函数图象的应用是每年高考的热点，题型既有选择题，也有填空题，难度偏大．主要命题角度有：(1)利用函数图象研究函数性质；(2)利用函数图象求解不等式；(3)利用函数图象求参数的取值范围；(4)利用函数图象确定方程根的个数(见本章第8讲)．角度一利用函数图象研究函数的性质已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)【解析】将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝x2－2x，x≥0，－x2－2x，x0，画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．【答案】C角度二利用函数图象求解不等式函数f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，f(3)＝0，若x·[f(x)－f(－x)]0，则x的取值范围为________．【解析】函数f(x)的图象大致如图所示．因为f(x)为奇函数，且x·[f(x)－f(－x)]0，所以2x·f(x)0.由图可知，不等式的解集为(－3，0)∪(0，3)．【答案】(－3，0)∪(0，3)角度三利用函数图象求参数的取值范围(2020·浙江省十校第一次联合模拟)已知函数f(x)＝log2（1－x）＋1，－1≤x0，x3－3x＋2，0≤x≤a的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是()A．(0，1]B．[1，3]C．[1，2]D．[3，2]【解析】先作出函数y＝log2(1－x)＋1，－1≤x0的图象，再研究y＝x3－3x＋2，0≤x≤a的图象．令y′＝3x2－3＝0，得x＝1(x＝－1舍去)，由y′0，得x1，由y′0，得0x1.所以当a＝1时，f(x)在0≤x≤a有最小值f(1)＝0，又f(3)＝2.所以1≤a≤3.故选B.【答案】B函数图象应用的求解策略(1)研究函数性质：①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值；②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；③从图象的走向趋势，分析函数的单调性；④从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．(2)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．1．(2020·广州五校联考)已知函数f(x)＝－x2－2x，x≥0，x2－2x，x0，若f(3－a2)f(2a)，则实数a的取值范围是________．解析：如图，画出f(x)的图象，由图象易得f(x)在R上单调递减，因为f