必修1第二章课件：匀变速直线运动的位移与时间的关系

3．匀变速直线运动的位移与时间的关系一、匀速直线运动的位移1．做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x＝____.2.做匀速直线运动的物体，其v－t图象是一条平行于_________的直线，其位移在数值上等于v－t图线与对应的时间轴所包围的矩形的______．如右图所示．vt时间轴面积2．位移公式x＝__________(1)公式中x、v0、a均是_______，应用公式解题应先根据正方向明确它们的正、负值．(2)当v0＝0时，x＝12at2，表示初速度为零的匀加速直线运动的_______与时间的关系．(3)当a＝0时，x＝v0t，表示___________运动的位移与时间的关系．矢量位移匀速直线v0t＋12at2一、由速度图象求匀变速直线运动的位移由上图可知匀变速直线运动，运用“无限分割、逐步逼近”的微分思想可得：匀变速直线运动的位移也对应着v－t图线和时间轴所包围的图形“面积”．速度图线和时间轴所包围的梯形“面积”为S＝12(OC＋AB)×OA与之对应的物体的位移x＝12(v0＋v)t.如右图所示为一列火车出站后做匀加速直线运动的v－t图象．请用“图象面积法”求出这列火车在8s内的位移．二、对位移公式x＝v0＋12at2的理解及应用1．公式x＝v0t＋12at2为矢量式，其中的x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选取初速度v0的方向为正方向.2.公式x＝v0t＋12at2是匀变速直线运动位移的一般表达形式，它表明质点在各个时刻相对初始时刻的位移x跟时间t的关系．当物体做匀减速直线运动时，公式的表达形式不变，a取负值；当初速度为零时，公式简化为x＝12at2.一物体做匀变速直线运动，初速度为v0＝2m/s，加速度a＝－2m/s2，则经过2s后，物体的速度和位移为()A．－2m/s,1mB．2m/s，－1mC．2m/s,0mD．－2m/s,0m三、常用的推导公式v＝v0＋v2匀变速直线运动在时间t内的平均速度，等于初速度(v0)与末速度(v)的算术平均值：v＝v0＋v2证明：v＝xt＝v0t＋12at2t＝v0＋v0＋at2＝v0＋v2.【特别提醒】平均速度v＝v0＋v2仅对匀变速直线运动才成立，非匀变速运动不能用．某市规定，汽车在学校门前马路上的行驶速度不得超过40km/h.一辆汽车在校门前马路上遇紧急情况刹车，由于车轮抱死，滑行时在马路上留下一道笔直的车痕，交警测量了车痕长度为9m，又从监探资料上确定了该车从刹车到停止的时间为1.5s，立即判断出这辆车有没有违章超速．这是为什么？解析：确认汽车是否违章，就是判断汽车行驶速度是否超过40km/h，即需要求出初速度v0.根据匀变速直线运动的速度均匀变化的特点，由刹车后的滑行距离(车痕长度)和滑行时间，可以算出滑行过程中的平均速度v＝xt＝9m1.5s＝6m/s又v＝v0＋v2＝v02，从而算出初速度v0.所以v0＝2v＝12m/s＝43.2km/h＞40km/h可知此车超速了．〔思考与讨论〕运用初中数学中学到的一次函数和二次函数知识，你能画出匀变速直线运动x＝v0t＋12at2的x－t图象的草图吗？如果一位同学问：“我们研究的是直线运动，为什么画出来的x－t图象不是直线？”你应该怎样向他解释？点拨：位移与时间的关系为x＝v0t＋12at2，x－t图象一定是一条曲线，如图所示．不同时刻所对应图象上点的斜率等于该时刻速度的大小，由v＝v0＋at知，速度不断增大，图象斜率也是不断增大．该图象描述的是匀变速直线运动的物体位移随时间的变化情况，可以认为t1时刻对应的位移为x1，t2时刻对应的位移为x2，物体相当于在x轴上运动，曲线上各点的坐标分别对应着时刻和位移．位移—时间图象反映的是物体的位移随时间的变化规律，图象不是运动轨迹.速度和位移公式的应用火车刹车后7s停下来，设火车做匀减速直线运动，最后1s内的位移是2m，求刹车的过程中火车的位移是多少米．解析：解法一利用vt＝v0＋at和x＝v0t＋12at2求解．由题意得，vt＝0.设火车刹车时的速度为v0，加速度为a，则由vt＝v0＋at得v0＝－7a①火车在刹车后7s内的位移x7＝v0t＋12at2＝7v0＋492a②火车在刹车后6s内的位移x6＝v0t＋12at2＝6v0＋18a.根据题意有x7－x6＝2m，即7v0＋492a－(6v0＋18a)＝2m③联立①③解得a＝－4m/s2，v0＝28m/s.再将a＝－4m/s2，v0＝28m/s代入②式得x7＝7×28m－492×4m＝98m.即火车刹车过程中的位移为98m.解法二利用平均速度v＝12(v0＋vt)求解，如右图所示．由vt＝v0＋at得：v0＝－7a，第6s末的速度v6＝－7a＋6a＝－a.由x＝vt和v＝12(v0＋v)得：最后1s的位移为2m，即12(v0＋vt)得最后1s的位移为2m，即12(－a＋0)×1＝2m.所以a＝－4m/s2，v0＝－7a＝28m/s.汽车在刹车过程中位移为x＝12(v0＋vt)×t7＝12×(28＋0)×7m＝98m.解法三利用对称法求解．质点做匀减速直线运动的末速度为零时，可以看做是初速度为零的匀加速直线运动的反演(即逆运动)．汽车减速最后1s内的位移就等价于汽车反向初速度为零的匀加速直线运动的第1s内的位移．由x＝12at21得a＝2x/t21＝4m/s2.火车刹车过程中的位移即为反向加速7s内的位移，则x＝12at2＝12×4×72m＝98m.【反思总结】对匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋12at2的理解：(1)式中共有四个物理量，仅就该公式而言，知三求一；(2)式中x、v0、a是矢量，在取初速度v0方向为正方向的前提下，匀加速直线运动a取正值，匀减速直线运动a取负值，若计算的结果x0，说明位移的方向与初速度方向相同，若x0，说明位移的方向与初速度方向相反．【跟踪发散】1－1：一物体做匀加速直线运动，初速度为v0＝5m/s，加速度为a＝0.5m/s2，求：(1)物体在3s内的位移；(2)物体在第3s内的位移．本题也可以用平均速度公式求解：2s末的速度v2＝v0＋at2＝(5＋0.5×2)m/s＝6m/s3s末的速度v3＝v0＋at3＝(5＋0.5×3)m/s＝6.5m/s因此，第3s内的平均速度v＝v2＋v32＝6＋6.52m/s＝6.25m/s故第3s内的位移x＝vt＝6.25×1m＝6.25m.答案：(1)17.25m(2)6.25m用v－t图象分析问题某一做直线运动的物体的v－t图象如右图所示，根据图象求：(1)物体距出发点的最远距离．(2)前4s内物体的位移．(3)前4s内通过的路程．【反思总结】在用v－t图象来求解物体的位移和路程的问题中，要注意以下两点：(1)速度图象和t轴所围成的面积数值等于物体位移的大小；(2)速度图象和t轴所围成的面积的绝对值的和等于物体的路程．【跟踪发散】2－1：(2011·巢湖高一检测)如右图所示为初速度为v0沿直线运动的物体的v－t图象，其末速度为vt，在时间t内，物体的平均速度为v，则()A.v＜12(v0＋vt)B.v＝12(v0＋vt)C.v12(v0＋vt)D．无法确定解析：若物体做初速度为v0、末速度为vt的匀变速直线运动，在时间0～t内的位移为如右图中阴影部分的面积，即x＝12(v0＋vt)t，其平均速度为v＝xt＝v0＋vt2，但物体实际的v－t图象中图线与时间轴包围的面积大于阴影部分的面积，所以平均速度应大于v0＋vt2，故A、B、D均错，C正确．答案：C由匀变速直线运动的位移公式推导出的几个推论一、匀变速直线运动的“判别式”在连续相等的时间(T)内的位移之差为一恒定值，即Δx＝aT2.证明：设物体以初速度v0、加速度a做匀加速直线运动，自开始计时起第一个时间T内的位移xⅠ＝v0T＋12aT2，在第二个时间T内的位移xⅡ＝v0·2T＋12a(2T)2－x1＝v0T＋32aT2，在第三个时间T内的位移xⅢ＝v0·3T＋12a(3T)2－xⅡ－xⅠ＝v0T＋52aT2，…连续相等时间T内的位移差Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2，即Δx＝aT2.二、中间时刻的瞬时速度做匀变速直线运动的物体，在某段时间的中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半，即vt/2＝v＝v0＋vt2推导：做匀变速直线运动的物体在t时间内的位移x＝v0t＋12at2①则在t时间的平均速度v＝xt＝v0＋12at②由速度公式v＝v0＋at，当t′＝t2时vt2＝v0＋at2③由②③得v＝vt2④又由v＝v0＋at得at＝v－v0，代入②式得v＝v0＋12(v－v0)＝v0＋v2所以vt2＝v＝12(v0＋vt)．三、初速度为0的匀加速直线运动的几个比例式1．1T内、2T内、3T内…的位移之比x1∶x2∶x2∶…＝12∶22∶32∶…证明：根据公式x＝12at2可知x1∶x2∶x3∶…＝(1T)2∶(2T)2∶(3T)2∶…＝12∶22∶32∶…(连续自然数的平方之比)2．第一个T内、第二个T内、第三个T内、…的位移之比xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．证明：由公式x＝12aT2得xⅠ＝12aT2，xⅡ＝x2－x1＝12a(2T)2－12aT2＝32aT2，xⅢ＝x3－x2＝12a(3T)2－12a(2T)2＝52aT2，…可见，xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)(连续奇数之比)．3．通过连续相同的位移所用时间之比t1∶t2∶t3…∶tn＝1∶(2－1)∶(3－2)∶…∶(n－n－1)．证明：由公式x＝12at2知，通过第一段相同位移所用时间t1＝2xa，通过第二段相同位移所用时间t2＝2×2xa－2xa＝2xa(2－1)，同理，t3＝3×2xa－2×2xa＝2xa(3－2)…可见，t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(2－1)∶(3－2)∶…∶(n－n－1)．一滑块自静止开始从斜面顶端匀加速下滑，第5s末的速度是6m/s，试求：(1)第4s末的速度；(2)运动后7s内的位移；(3)第3s内的位移．解析：(1)因为v0＝0，所以vt＝at，即vt∝t故v4∶v5＝4∶5所以第4s末的速度v4＝45v5＝45×6m/s＝4.8m/s(2)前5s的位移x5＝vt＝0＋v52t＝0m/s＋6m/s2×5s＝15m由于x∝t2，所以x7∶x5＝72∶52故7s内位移x7＝7252×x5＝4925×15m＝29.4m(3)利用xⅠ∶xⅢ＝1∶5，x1∶x5＝12∶52＝1∶25故x1＝125x5＝125×15m＝0.6m所以第3s内的位移xⅢ＝5x1＝5×0.6m＝3m答案：(1)4.8m/s(2)29.4m(3)3m1．汽车刹车后做匀减速直线运动，经3s后停止运动，那么，在这连续的3个1s内汽车通过的位移之比为()A．1∶3∶5B．5∶3∶1C．1∶2∶3D．3∶2∶12．由静止开始做匀加速运动的汽车，第1s内通过的位移为0.4m，以下说法中正确的是()A．第1s末的速度为0.8m/sB．加速度为0.8m/s2C．第2s内通过的路程为1.2mD．前2s内通过的路程为1.2m3．一个物体做匀变速直线运动，若运动的时间之比为t1∶t2∶t3∶…＝1∶2∶3∶…，下面有三种说法：①相应的运动距离之比一定是x1∶x2∶x3∶…＝1∶4∶9∶…②相邻的相同时间内的位移之比一定是x1∶x2∶x3∶…＝1∶3∶5∶…③相邻的相同时间内位移之差值一定是Δx＝aT2，其中T为相同的时间间隔．以上说法正确的是()A．只有③正确B．只有②③正确C．都是不正确的D．都是正确的答案：A4.如右图所示，在水平面上固定着三个完全相同的木块，一粒子弹以水平速度v射入．若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第三个木块时速度恰好为零，则子弹依次穿入每个木块时的速度之比和穿过每个木块所用时间之比分别为()A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1B．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1C．t1∶t2∶t3＝1∶2∶3D．t1∶t2∶t3＝(3－2