2006年流体力学上课3

第三章流体运动学3.1流体运动的描述3.1.1拉格朗日法3.1.2欧拉法,,,,,,,,,xxyyzzuuxyztuuxyztuuxyzt,,,,,,,,,,,uuxyztppxyztxyzt3.1.3流体质点的加速度、质点导数,,,uuxyztxyzduuuxuyuzadttxtytztuuuuuuutxyzxxxxxxyzyyyyyxyzzzzzzxyzuuuuauuutxyzuuuuauuutxyzuuuuauuutxyz(),(),()xxtyytzzt当地加速度（或时变加速度）：迁移加速度（或位变加速度）：ut()uu3.2欧拉法的基本概念1、恒定流和非恒定流2、一元、二元和三元流动3、均匀流和非均匀流0At(,,)(,,)(,,)uuxyzppxyzxyz0uu例：已知速度场。试问：（1）t=2s时，在（2,4）点的加速度是多少？（2）流动是恒定流还是非恒定流？（3）流动是均匀流还是非均匀流？解：以代入，得：4669uyxtiyxtj224646669446166xxxxxyuuuauutxyyxyxttyxttyxtt2,2,4tsxy24/xams22226/7.21/yxyamsaaams速度场随时间而变化，为非恒定流位变导数为零，为均匀流(,,)(46)(,,)(69)xxyyuuxytyxtuuxytyxt(46)(69)0yxuuuijyxiyxjttt0yyxxxyxyuuuuuuuuiuujxyxz3.2.2流线1、流线流线性质2、流线方程cos(,),cos(,),cos(,)yxzuuuVxVyVzVVVcos(,),cos(,),cos(,)dxdydzxyzdsdsds,,yxzuuudxdydzVdsVdsVdsxyzdxdydzuuu3、迹线方程迹线运动方程：迹线的微分方程：xyzdxudtdyudtdzudtxyzdxdydzdtuuu例：已知速度场。试求（1）流线方程及时的流线图；（2）迹线方程及t＝0时过（0，0）点的迹线。解（1）为三组不同斜率的直线,,0xyzuaubtu0,1,2tttdxdyabtaybtxCbtyxCa0,1,2ttt（2）迹线方程积分得：dxdydtabt,dxadtdybtdt1222xatCtybC0,0,0txy120,0CC222byxa例：已知速度场，式中，a为常数。试求：（1）流线方程；（2）迹线方程。解：流线的微分方程：，积分得：迹线的微分方程：积分得：,,0xyzuaxuayu0ydxdyaxaylnlnln,xyCxyCdxdydtaxay12,atatxCexyCyCe3.2.3流管、过流断面、元流和总流流管流束过流断面元流总流3.2.4流量断面平均流速1、流量体积流量：质量流量：2、断面平均流速3/AQudAms/AQudAkgs,AQQudAvAvA例：已知半径为ro的圆管中，过流断面上的流速分布为：式中是轴线上断面的最大流速，y为距管壁的距离。试求：（1）通过的流量和断面平均流速；（2）过流断面上，速度等于平均流速的点距管壁的距离。1/7maxoyuurmaxu解：取环形微元面积，面上各点的流速u相同流量：断面平均流速：1/70max1/72maxmax1/70224960oooooArroooyQudAurydryruryydyrur2oodArydrymax4960QvuA（2）过流断面上，速度等于平均流速的点距管壁的距离。1/7maxmax74960490.242600.242oooyuuryryr3.3连续性方程控制体控制面连续性微分方程的推导X方向的净流出质量为：y，z方向的为：xxxxxuMudxdydzdtudydzdtxudxdydzdtxyyzzuMdxdydzdtyuMdxdydzdtzdt时间控制体的总净流出质量：化简：对不可压缩流体，密度ρ是常数，因此：yxzxyzuuuMMMdxdydzdtxyzyxzuuudxdydzdtdxdydzdtxyzt0yxzuuuxyz0yxzuuutxyz例：已知速度场：试问流动是否满足连续性条件。解：22211212xyzuyxuxyutzt0yxzuuutxyz解：得：22222222xyzttuyxxxxuxyxyyutztzz0yxzuuutxyz例：已知速度场，其中c为常数。试求坐标z方向的速度矢量。解：不可压缩流体连续方程求得：那么：积分得：222,xyucxyzuyzcxyz222xyucxyzxuyzcxyzy0yxzuuuxyz2yxzuuuyzzxy2zuyzC3.3.2连续性微分方程对总流的积分对控制体进行积分：可得：0yxzuuutxyz0ndVudAt12120AAudAudA1212121122AAudAudAQQvAvA例：变直径水管，已知粗管管径，断面平均流速，细管直径，试求细管管段的断面平均流速。解：1200dmm10.8/vms2100dmm1122211211223.2/vAvAAdvvvmsAd例：输水管道经三通管，已知管径，断面平均流速，试求断面平均流速。解：123200,100ddmmdmm123/,2/vmsvms3v1231122332131234/QQQvAvAvAdvvvmsd3.4流体微团运动分析3.4.1微团运动的分解O’点：速度：M点：(,,)Oxyz(,,)uuxyz(,,)MxxyyzzxxxMxxyyyMyyzzzMzzuuuuuxyzxyzuuuuuxyzxyzuuuuuxyzxyz作恒等变换，得：其中：MxxxxxyxzyzMyyyyyzyxzxMzzzzzxzyxyuuxyzzyuuyzxxzuuzxyyx112211221122yyxzzxxyzzyxyxxzzyyzxxzyyyxxzzzxyyxzuuuuuxyzyzuuuuuyzxzxuuuuuxxyxy3.4.2微团运动的组成分析1、平移速度2、线变形速度,,xyzuuu,,xxyyzzxxxuxxxxxuuuxdtudtxdtxx,yzyyzzuuyz3、角变形速度OA轴发生偏转，偏转角：OB轴发生偏转，偏转角：,,xyyzzx12yxxyuuxyyyuxdtuAAxdtxxxxxuydtuBBydtyyy微团在xOy平面上的角变形用来衡量：微团在xoy平面上的角变形速度：同理：121122yxxyuudtdtxy11,22yxzzyzzxuuuuyzzx12yxxyuuxy4、旋转角速度顺时针方向为负，逆时针方向为正。即：1212yxzuudtdtxy12yxzuuxy11,22yxzzxyuuuuyzzx3.4.3有旋流动和无旋流动102102102yyzzxxxzzyyyxxzuuuuyzyzuuuuzzzxuuuuxyxy例：已知速度场，其中a是常数，流线是平行于x轴的直线。判别该流动是否有旋。解：,0xyzuayuu110022yxuuaxy例：已知速度场，其中b是常数，流线是以原点为中心的同心圆。解：0,rbuur2222sincos102xyyxzbybyuurrxybxbxuurrxyuuxy