几何一题多解

1条条大路通罗马-----2009年上海中考数学压轴题带来的启示200093杨浦区教师进修学院翟立安今年上海中考数学试卷设计的思路是“注重双基、体现新意、适度区分”，尤其最后一题在体现新意方面做了一些有益的尝试。（题目：已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC．P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足ABADPCPQ（如图1所示）．（1）当AD=2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；（2）在图1中，联结AP，当AD=23，且点Q在线段AB上时，设B、Q之间的距离为x，ySSPBCAPQ，其中APQS表示△APQ的面积，PBCS表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当ADAB,且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求∠QPC的大小）一、稳中求变，变中求新，促进探究型教与学虽然，今年中考数学的压轴题仍然是“动态几何+函数”，但与往年的压轴题也有着几处明显的区别。首先，体现在函数的定义域上。往年也有求函数定义域的问题，但大都是以最初的动点（主动点）与某定点的线段长度为自变量，主要考查考生对动态图形的观察能力，特别是对特殊位置的观察；今年的函数自变量选择了从动点Q与定点B之间的距离为自变量x，使得求函数定义域的主要手段不再是直观的观察，而是理性的推导和计算，体现了数学的理性思维要求，这一变化击中了我们几何复习教学的“软肋”：用直观观察代替理性思考。其次，在判定三角形相似的方法上。我们知道，一般情况下是不能用“SSA”（边边角）来判定两个三角形相似的，但是在特殊情况下它是可以用来判定两个三角形相似的，例如，在两个直角三角形中、在两个钝角三角形中、在两个等腰三角形中。平时教学中，老师们非常重视和强调一般情况下的“不能”，却缺乏引导学生进行反思和研究特殊情况下的“能”。其三、在数量关系与位置关系的推理上。往年动态几何题中由位置关系探求数量关系的较多，今年是由数量关系（ABADPCPQ），探究PQ与PC的位置关系（虽然问的是∠QPC的大小），更看重考生从“数”走向“形”的判断和探究能力。可见，今年的压轴题对初中数学进行探究型的教与学，倡导教与学的反思，有着很好的导向作用。二、新中求通，通中求异，促进合作型教与学与往年一样，压轴题涉及到的知识点和思想方法较多，今年压轴题涉及到的知识和定理图2（Q）ABCDP图1QABCDP图3QABCDP2有：平行线的性质、等腰直角三角形、相似三角形的判定和性质运用、勾股定理及其逆定理、三角形的面积表示或三角形面积之间的关系、矩形的性质、锐角三角比等。考查了学生的转化能力、证明能力、计算能力，同时又考查了学生在图形动态情况下的想象能力以及运用一般与特殊、数形结合等思想方法，从而考查考生综合运用数学知识和数学思想方法解决问题的能力。本题由于涉及的知识点较多，沟通了许多数学知识之间的联系，所以解题的方法也较多。特别是第（3）小题，以运用相似三角形的性质为基础，可从几何论证入手，也可用同一法的思想从构造法入手；以代数式的恒等变形和整体代入为基础，可以用勾股定理的逆定理进行思考，还可利用高中的函数思想和解析法来解决问题。解法一、如图1过点P作PM⊥BC于M，过点P作PN⊥AB于N，则四边形PMBN是矩形，∴090,,//MPNBNPMBMPN∵BCAD//，∴ADPN//，ABADBNPN∴ABADPMPN，∵PCPQABAD，∴PCPQPMPN，又090PNQPMC，∴PCM∽PQN，∴QPNCPM，∴090NPMQPMNPQMPQCPMQPC.解法二、如图1假设090QPC，过点P作PM⊥BC于M，过点P作PN⊥BC于N，则四边形PMBN是矩形，090NPQQPMQMPPMC,∴MPCNPQ,又PMCPNQ∴NPQ∽MPC，∴PMPNPCPQ，而BNPM，∴BNPNPCPQ，又ADPN//，∴ABADBNPN，∴ABADPCPQ，且以上每步可逆。综上，可得090QPC.解法三、如图2过点P作PM⊥BD交直线BC于M，∵PBMADB且090MPBDAB，∴ADB∽PBM，∴PMPBABAD，∵PCPQABAD，∴PCPQPMPB，∵PBQ与PMC都是钝角，∴PBQ∽PMC，∴MPCBPQ，∴090BPMQPMQPBMPQCPMQPC.解法四、如图3过点P作PK使PKCPBQ，PK与BC交于点K，则ABPPKB，∵BCAD//，∴ADBPBK，∴BPK∽DAB∴090BPK,PBADPQPKABPC,又PKCPBQ,且它们都是钝角∴PKC∽PBQ，∴BPQKPC，∴090QPCCPKKPQQPBQPKBPK.图8MQABCDP图2图7MNQABCDP图1图9QABCDPK图33解法五、如图4过点P作'PQPC交直线AB于'Q，连'QC,则0'90PCQ，又0'90BCQ，∴P、B、Q、C四点共圆，∴BCPPBQ'，''BPQBCQ，而''ABDBPQBQP，''PCQPCBBCQ∴'PCQABD，又0'90PCQBAD，∴ABD∽'PCQ，∴PCPQABADPCPQ'，∴PQPQ'，又∵点'Q与点Q都在线段AB的延长线上，∴点'Q与点Q重合，∴'090QPCQPC解法六、如图5过点P作PC‘⊥PQ交直线BC于点C’，则'090QPC过点P作PM⊥BC于M，过点P作PN⊥AB于N，则'090QPC,//PMAQ，∴BQPQPM，'QPMPCM，∴'BQPPCM，又'090PNQPMC，∴PNQ∽'PMC，∴'PNPQPMPC，又//ADPN，∴PNADBNAB，∴'ADPQABPC，而ABADPCPQ，∴'PQPQPCPC，∴'PCPC，又∵点'C与点C都在点B的右侧，∴点'C与点C重合，∴'090QPCQPC.解法七、如图6过点P作PM⊥BC于M，过点P作PN⊥AB于N，∵//ABPM，∴PBABPM，又090BADPMB，∴BAD∽PMB，∴BMADPMAB，又ABADPCPQ，∴BMPQPMPC即PMBMPCPQ，而PNBM，∴PMPNPCPQ，即sinsinPQNPCM，∵PQNPCM、都是锐角，∴PQNPCM，即PQBPCB，∴P、B、Q、C四点共圆，∴090QBCQPC.解法八、如图7过点P作PM⊥BC于M，过点P作PN⊥BC于N，则//,PNADMPBN，设AD=a，PNc，由//PNAD，得BNABPNAD，∴2cMPBNa，在RtQPN中，PNc，2cQNQBBNxa，∴2222cPQcxa（），在RtPMC中，2cPMa3MCBCBMBCPNc，∴22223cPCca（）（），连QC，在RtQBC中，3BQxBC，，∴229QCx，又∵2PQADaPCAB，∴2224PQaPC，整理得223240acaaxc①Q‘图10QABCDP图4C’图11MNQABCDP图5图7MNQABCDP图6图7MNQABCDP4∴22PQPC=222ccxa（）+2223cca（）（）=222229324cxacaaxca（）由①得，22PQPC=29x，即22PQPC=2QC，∴090QPC解法九、如图8建立如图所示直角坐标系，则0A（，2），Q（0，-x），设2Da（，），点P的横坐标为c，∵点P在直线OD上，∴2cPca（，），∴2222cPQcxa（），22223cPCca（）（），∵2PQADaPCAB，∴2224PQaPC，由3c，可整理得2423caxac（）②又22,3PQPCccxaakkcc，∴222423(3)PQPCccxcaxaakkccac，由②得，2224213(3)PQPCccxcaxaakkccac，∴PQPC，∴090QPC.解法十：如图8建立如图所示直角坐标系，则0A（，2），Q（0，-x），设2Da（，），点P的横坐标为c，∵点P在直线OD上，∴2cPca（，），∴2222cPQcxa（），22223cPCca（）（），∵2PQADaPCAB，∴2224PQaPC，由3c，可整理得2423caxac（）③又22(,),(3,)ccPQcxPCcaa，∴22(3)()ccPQPCccxaa=22[(42)(3)]ccaxaca，由③可得，0PQPC，∴PQPC，∴090QPC.从以上多种解法(除解法九、十用到高中数学知识和方法)，我们可以看出，初中数学教学的首要问题是解决通性通法的问题,但又不能满足于通性通法的教与学,一定要注重一题多解，重视数学知识之间的联系，重视数学思想方法的不同功能,重视学生不同的认知角度和不同的认知水平在同一个数学问题上的不同反应,营造师生、生生之间的教学合作氛围,使课堂教学涌现出更多更精彩的“意外”的生成.2009-7-7地址：杨浦区控江路1535号Oxy图12QA（B）CDP图8