中考数学复习指导：例析中考数学一题多解

中考数学复习指导：例析中考数学一题多解1/4例析中考数学一题多解问题如图1，矩形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B'处，折痕为AE，此时折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则相等距离为_______．解析通过折叠，B点到B'点的位置．已知折痕过A，故必先“落实”好E点的位置．由折叠得B'E＝BE，AB'＝AB＝5．在Rt△ADB'中，AD＝4，[来源:学*科*网Z*X*X*K]∴CE＝1.5．BE＝2.5．注本题也有另外一种思路：设BE＝B'E＝m，则CE＝4－m．又在Rt△ECB'中，中考数学复习指导：例析中考数学一题多解2/4CE2＋B'C2＝B'E2．即(4－m)2＋22＝m2，解之得m＝2.5．故BE＝2.5．思路一要考虑到P到边CD的距离与到点B的距离相等．如图2，过点P作GF垂直于CD分别交CD、AB两边于G、F两点．设PF＝x，AF＝y，则PB＝PG＝4－x，BF＝5－y．由△AFP∽△ABE，得思路二因为BE的长度可以求得，P到B点的距离和到CD的距离可以转化为直角坐标系中距离问题解决，于是建立坐标模型试解决该问题．如图3，以BA所在直线为x轴、BC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．由解析知OE＝2.5，∴E(0，2.5)，又A(5，0)，因此，可求得直线AE的解析式为y＝－12x＋52．∵P在直线AE上，故设P(a，－12a＋52)．由题意，P到边CD的距离与到点B的距离相等，则有中考数学复习指导：例析中考数学一题多解3/4思路三由折叠得，P到B点的距离即P到B'点的距离，这样，P到边CD的距离与到点B的距离相等，就可转化为P到B'点的距离与P到边CD的距离相等，所以只要PB'上CD．如图4，延长B'P交AB于点F，则四边形B'FBC是矩形，BF＝B'C＝2，此时求BP的长度又有两种思路：(1)利用相似计算．[来源:Z。xx。]易证△AFP∽△ABE，得[来源:学|科|网Z|X|X|K](2)建立方程模型，设PF＝y，BP＝B'P＝4－y，由BP2＝PF2＋BF2，得(4－y)2＝y2＋4．解之得y＝1.5，BP＝4－y＝2.5．问题再变式：如果在折痕EA上有一点P到CB和CD边的距离相等，你还能求出该相等的距离吗？思路四仿照本题“思路二”解决．[来源:Z+xx+]点P到CB和CD边的距离相等，说明P在∠BDC的平分线CH上．将直线EA与直线CH（关键要运用题意中隐含的BC＝BH＝4这一条件）的解析式组成方程组，解方程组求出点P的横坐标．中考数学复习指导：例析中考数学一题多解4/4思路五如图5，过点P作PF⊥CB于F，PG⊥CD于G．设FP＝PG＝n，则BF＝4－n．易证△EFP∽△EBA．∴FPEFBAEB，∴2.5452.5nn，解之得n＝3．[来源:]该相等的距离为3．以上对于同一折叠问题，提供了多种解决方案，其思考的过程就是将诸多知识和能力进行综合运用的过程．如果平时对学生坚持这样启发引导，必将能拓宽学生分析问题的思路，从而提高学生的综合素质．