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..人口老龄化问题摘要人口老龄化问题是21世纪中国所面临的严峻社会问题，已引起全社会的广泛关注，但目前我们对老龄化影响因素的研究还不够系统和全面。本文从老龄化的影响因素出发，建立主成分分析法、线性拟合和灰色预测的数学模型，得到影响人口老龄化的四个主要因素，并科学的预测出了未来几年老龄化人口的数量。首先，我们通过阅读大量的相关文献，确定出十几个影响人口老龄化的影响因子，并从国家统计局网站上获得相应指标的原始数据，结合合理的假设，建立不同年份各个影响因子的一个二维表。其次，我们建立主成分分析法模型，将所获得的指标和原始数据进行标准化处理，运用SPSS软件进行分析，得到了影响人口老龄化的主要因素有：人均GDP，预期平均寿命，教育经费投入，农村人口比重这四个方面。再次，利用上述已提取的四个影响因素，通过线性拟合得出四个主要因素和人口老龄化的函数关系式：y=-42.202925370799250+0.679854684616473*x1-0.000002837083521*x2+0.000027713758515*x3+0.016482418326739*x4再通过灰色预测模型结合上述关系式求解出未来人口老龄化的比重，随后我们将历史年份预测值与真实值进行对比，其结果较为吻合，从而验证出了模型的合理性。下表为我们预测出的未来6年老龄化人口比重：2010201120122013201420157.77.98.28.58.910.3最后，我们对此模型进行了优缺点评价和模型改进。本文特色是将线性拟合和灰色预测模型相结合。首先根据历史数据，线性拟合出人口老龄化比重与四个影响因素之间的的函数关系式，再运用灰色预测模型预测出四个影响因素的未来指标，最后代入已拟合好的函数关系式中，就可以求解出未来老龄化人口的比重。关键字：人口老龄化主成分分析法线性拟合灰色预测..1、问题重述人口问题是全球最主要的社会问题之一，是当代许多社会问题的核心。据官方统计，到2050年，世界人口将达到90—100亿，其中60岁以上的人口将达到20亿。控制人口的增长已迫在眉睫。而老龄化问题是人口问题中最突出的问题。目前世界人口老龄化程度较深的国家有日本、意大利、德国等，其高达25%以上，而我国65岁以上的老年人口占总人口7%。按这个标准，我国已进入老龄化社会。控制人口老龄化问题已刻不容缓，对社会经济的稳定和可持续发展都有重要意义。利用附表中的数据及互联网数据，建立数学模型，分析老龄化人口数与诸多影响因素之间的关系，为防止老龄化提供依据，同时预测未来两年我国老龄化人口数量。2、问题分析21世纪的中国是一个不可逆转的老龄社会。日益增多的老龄人口以及与此相伴而生的社会经济问题已引起全社会的广泛关注。针对影响因素与人口老龄之间的关系和预测未来老龄化人口数量这两个问题我们做了如下分析：1.就题目中所呈现的我国人口老龄化的现状，我们从影响此现状的因素入手，选择经济、科技、政策、环境等四个方面，并从这四方面展开分析，最终计算出全面合理的影响因素。2.基于第二问，预测未来人口老龄化的数量也就是先用灰色预测模型，由历史值得出各个影响因素的未来值，再通过线性拟合关系式，运算出结果的过程。3、模型假设1、假设在中国统计局网站搜集的数据均真实有效。2、假设影响人口老龄化各因素之间互不相关。3、本文以年份为时间变量，忽略了以地区差异性为特点的人口密度指标。4、符号说明X人口老龄化比重X1女性比重X2农村人口比重X3恩格尔系数X4预期平均寿命X5人均GDP..X6教育投入X7科学技术投入X8文体投入X9社会保障投入X10医疗卫生投入X11环境保护X12自然增长率y人口老龄化比重a常数1b预期平均寿命的权重2b人均GDP的权重3b教育经费投入的权重4b农村人口比重的权重n指标编号m年份jx第j个指标的各年数据的平均值jS第j个指标的各年数据的标准差ijx原始数据R相关系数矩阵表4-1-15、模型建立与求解..模块Ⅰ（主成分的筛选）5.1.1数据查找我们通过中国统计局网站得到所需年份的统计年鉴，对原始因素的相关数据进行了搜集整理，得到与本模型相关的数据。（详见附录一）5.1.2模型分析主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。在本题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和问题分析的复杂性，我们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。故选用此种方法进行主要因素的提炼。5.1.3数据标准化处理将04~09年各个影响因素的有关原始指标数据写成矩阵形式nmijxX)(，然后运用标准化公式()1,2,,;1,2,,ijjijjxxyimjnS（其m为年份，n为指标编号，ijx为原始数据，jx为第j个指标各年的平均值，jS是jx的标准差）进行处理（详见附录二），消除各指标受纲量的影响。5.1.4模型建立在实际情况中影响人口老龄化的因素较多，包括如下表内的12个以及未列出的各种因素，我们将这些因素的近几年数据找出并将原始数据写成的矩阵输入SPSS软件中经过一些运算得到相关的指标。解释的总方差成份初始特征值提取平方和载入合计方差的%累积%合计方差的%累积%111.21493.44893.44811.21493.44893.4482.4824.01797.465.4824.01797.4653.2291.90799.372.2291.90799.3724.051.42699.798.051.42699.7985.024.202100.000.024.202100.00066.194E-165.161E-15100.00074.194E-163.495E-15100.00082.078E-161.732E-15100.00095.452E-174.543E-16100.00010-1.211E-16-1.009E-15100.000..11-2.883E-16-2.402E-15100.00012-7.270E-16-6.058E-15100.000表5-1-1在实际研究中，由于主成分的目的是为了降维，减少变量的个数，故一般选取少量的主成分（不超过5或6个），只要他门所能包含原变量信息的86%以上即可。由上表可以得到每一个主成分的贡献率和累计贡献率，相关系数的特征值即各主成分的方差，可以看出第一个成分的特征值的累积贡献率已经高达93.448%，所以我们选取第一个成分为主成分。再由SPSS得到相关系数矩阵R的特征向量如下：成份矩阵a成份12345女性比重1.964.232.087.092-.004农村人口比重2-.985.118.046.108-.041恩格尔系数3-.881.432-.171.052.078预期平均寿命4.997-.034-.026-.038.059人均GDP5.993.018-.097-.031.050教育经费投入6.992.108-.067-.015.005科学技术投入7.984-.042.167.032.027文体投入18.984.011.174.027.041社会保障投入9.966.162-.185-.055-.055医疗卫生10.979.149.128.035-.032环境保护11.971.222-.058-.017-.063自然增长率12-.896.340.251-.139.003表5-1-2由上表，我们在第一个主成分中选取特征向量的绝对值在0.985以上的四个最主要的因素。主要因素预期平均寿命人均GDP教育经费投入农村人口比重特征向量0.9970.9930.9920.9855.1.4分析得出结果..根据上表所示，我们据此提取出人均GDP,平均寿命，教育经费投入，农村人口比重这四个主成分。模块Ⅱ（线性拟合求出各出成分与人口老龄的关系）5.2.1模型分析根据模型Ⅰ的提炼，我们得出预期平均寿命，人均GDP，教育经费投入，农村人口比重这四个主成分，据此故列出此四种成分的数据下表：年份预期平均寿命人均GDP教育投入农村人口比重200471.7412335.583365.9458.24200571.9614185.363974.8357.01200672.1916499.704780.4156.10200772.4320169.467122.3255.06200872.7223707.719010.2154.32200972.9625575.4810437.5453.41表5-2-1经过以上计算我们仅仅得出了主成分，但主成分与因变量人口老龄化比重之间的关系还不十分明确，我们可以看到人口老龄化比重是随着人均GDP，平均寿命，教育经费投入的增加而增加，随着农村人口比重的增加而减少。我们需要某种函数关系，来确定四者与人口老龄化之间的关系。故而选取线性拟合的方式来建立模型。5.2.2模型建立设y为因变量即人口老龄化比重，x1为预期平均寿命，x2为人均GDP，x3为教育经费的投入，x4为农村人口比重可得如下线性方程4*43*32*21*1xbxbxbxbay根据上面所列线性回归模型在MATLAB软件中编写程序，进行运算得出如下结果（程序见附录三）。a-42.202925370799251b0.6798546846164732b-0.0000028370835213b0.0000277137585154b0.016482418326739注：因b2与b3所得结果较小，且对最终运算有较大影响，故运算结果保留小数较多故所得线性方程为..y=-42.202925370799250+0.679854684616473*x1-0.000002837083521*x2+0.000027713758515*x3+0.016482418326739*x45.2.3模型检验为了分析模型的可靠性，我们进一步，将06到09年的四项主成分数据带入线性方程中进行运算，将预测值与实际值进行比较，得出结论如下表（5-2-2）数值年份实际值预测值绝对误差20047.67.5-0.120057.77.7020067.97.8-0.120078.18.0-0.120088.38.3020098.58.4-0.1表5-2-2从表（5-2-2）可看出，绝对误差的绝对值均在0.1之内，说明回归方程具有较高的代表性和显著性，可以很好的表示这四者之间的关系。模块Ⅲ（灰色预测模型推测未来人口老龄化比重）5.3.1模型分析我们要推测未来人口老龄化比重，需要知道未来人均GDP,平均寿命，教育经费投入，农村人口比重这四者在未来某年的数据，但是这些我们无法从实际中查知，故我们可以利用灰色预测模型进行预测。模型优势灰色预测模型介于白色模型和黑色模型之间，白色即数据全部已知，黑色即数据全部未知，灰色则是部分已知部分未知。灰色预测则是应用灰色模型GM(1,1)对灰色系统进行分析、建模、求解、预测的过程。由于灰色建模理论应用数据生成手段，弱化了系统的随机性，使紊乱的原始序列呈现某种规律，规律不明显的变得较为明显，建模后还能进行残差辨识，即使较少的历史数据，任意随机分布，也能得到较高的预测精度。5.3.2模型的建立首先，分别列出各个主成分的历史数据如表（5-2-1），然后将编写好的灰色预测模型源程序（详见附录四）输入MATLAB软件中，将各个主成分的数据依次输入，再输入预知未来多少年，即可得出预测数据，如下即为人均GDP预测未来6年的数据图（5-3-1）：..图5-3-1百分绝对误差为：3159.6508%预测值为：30485.585635337.142440960.788847479.397255035.394263793.8726然后依次得出其他主成分未来6年的数据如下表（5-3-1）成分数据年份平均预期寿命人均GDP（