全等三角形(最全面的资料)

最优的讲义圆学霸之梦1第三章全等三角形专题二、全等三角形的判定知识点：三角形全等的条件：1.三边对应相等的两个三角形全等（可写成“边边边”或“SSS”）如图：在△ABC和△A’B’C’中，AB=A’B’，BC＝B’C’，AC＝A’C’，可以判定△ABC≌△A’B’C’。2.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）如图：如图：在△ABC和△A’B’C’中，AB=A’B’,ABC=A’B’C’,BC＝B’C’，可以判定△ABC≌△A’B’C’。3.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）如图：在△ABC和△A’B’C’中，B=B’，BC＝B’C’，C=C’可以判定△ABC≌△A’B’C’。4.角边角（ASA）公理推论：有两个角和一角所对边对应相等的两个三角形全等。（简称为“角边角”或“ASA”）。如图：在△ABC和△A’B’C’中，B=B’，C=C’，AC=A’C’。可以判定△ABC≌△A’B’C’。5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边，直角边”或“HL”）如图：在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，B=B’＝90，AB=A’B’，AC=A’C’。可以判定△ABC≌△A’B’C’。最优的讲义圆学霸之梦2补充：1、Rt中30度所对的直角边等于斜边的一般。2、Rt斜边上的中线等于斜边的一半。典型例题：1.已知两边SSSHLSAS找另一边找直角找夹角例1.如图所示，AD=AE，点D、E在BC上，BD=CE，∠1=∠2。试说明△ABD≌△ACE。12EBCDA变式练习：1.如图，已知AF=AE，AC=AD，CF与DE交于点B。求证：△ACF≌△ADE。BFACDE2.如图，AC=BD，AB=DC，求证：∠B=∠C。最优的讲义圆学霸之梦3EDABC3.如图，A、E、F、B四点在一条直线上，AC⊥CE，BD⊥DF，AE=BF，AC=BD，求证：CF=DE。DCFABE能力提升：1.如图所示，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠EAD=90，连接BD、CE.（1）求证：BD=CE；（2）观察图形，猜想BD和CE之间的位置关系，并证明你的结论。2.已知如图：BE、CF是△ABC中AC、AB上的高，在射线BE上截取BP=AC，在射线CF上截取CQ=AB。求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ。EDCBA最优的讲义圆学霸之梦42.已知一边一角SASAASASAAAS找该角的另一条邻边找这条边的对角找这条边的另一个邻角边为角的邻边找任意一角边为角的对边例2.如图所示，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C。试说明△ABF≌△DCE。DEBCAF变式练习：1.已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E。求证：BC=ED。2.如图，点A、B、D、E在同一直线上，AD=EB，BC∥DF，∠C=∠F。求证：AC=EF。最优的讲义圆学霸之梦53.如图4，已知AB＝AC，AD＝AG，AE⊥BG交BG的延长线于E，AF⊥CD交CD的延长线于F。求证：AE＝AFAFEDGBC图4能力提升：1.如图：已知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC。AE是过点A的直线，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，求证：BD=CE+DE。2.如图①所示，在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连结PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足为点E、F。（1）请探索BE、DF、EF这三条线段有怎样的数量关系。若P在DC的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论；（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明。最优的讲义圆学霸之梦6FEFEFEBCCBCBPPADADADP①②③3.如图①所示在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A点的一条直线，且B点和C点在AE的异侧，BD⊥AE于D点，CE⊥AE于E点。（1）求证：BD=DE+CE；（2）若直线AE绕点A旋转到图②所示的位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请予以证明；（3）若直线AE绕点A旋转到如图③所示位置时（BD＞CE），其余条件不变，BD与DE、CE的关系如何？直接写出结果，不需证明；（4）归纳前三小题，用简捷的语言表述BD、DE、CE之间的关系。EDABCEDACBEDACB①②③3.已知两角AASASA找任一角的对边找两角的夹边最优的讲义圆学霸之梦7OFABCDE例3.如图所示，AB、CD交于点O，E、F为AB上两点，OA=OB，OE=OF，∠A=∠B，∠ACE=∠BDF，试说明△ACE≌△BDF。变式练习：1.如图2，已知点A、B、C、D在同一直线上，AC＝BD，AM∥CN，BM∥DN。求证：AM＝CN.MNACBD图22.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，且∠1=∠2，求证：BD=CE。21ODABCE能力提升：最优的讲义圆学霸之梦8如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD是△ABC的角平分线，∠1=∠C,求证AC=AB+BD。专题三、构造全等三角形1.平移（平行线）构造全等三角形例1、△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ．说明：⑴本题也可以在AB截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长补短法”．（2）本题利用“平行法”解法也较多，举例如下：①如图（2），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO来解决．②如图（3），过O作DE∥BC交AB于D，交AC于E，则△ADO≌△AQO，△ABO≌△AEO来解决．③如图（4），过P作PD∥BQ交AB的延长线于D，则△APD≌△APC来解决．④如图（5），过P作PD∥BQ交AC于D，则△ABP≌△ADP来解决．OABCPQD图（2）ABCPQDE图（3）OABCPQ图（4）DOABCPQ图（5）DOABCPQDO最优的讲义圆学霸之梦92.翻折构造全等三角形例2.如图所示，已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，试说明AB=BC+CD。DCAB变式练习1、如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,过C作CEAB于E，并且ADABAE21,求∠ABC+∠ADC的度数。2、已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE3、如图所示，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，若AB＞AD，DC=BC，试说明∠B+∠D=180°。最优的讲义圆学霸之梦10ABDC3.旋转构造全等三角形例3.以△ABC，AB、AC为边分别作正方形ADEB、ACGF，连接DC、BF。(1)利用旋转的观点，在此题中，△ADC绕着点旋转度可以得到△。(2)CD与BF相等吗？请说明理由。(3)CD与BF互相垂直吗？请说明理由。变式练习：1、已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？并说明理由．MBCN图3ADBCNM图2ADBCNM图1AD最优的讲义圆学霸之梦112.如图，在正方形ABCD的边BC、CD上取E、F两点，使∠EAF=45°，AH⊥EF于H。求证：AH=AB。4.截长补短法构造全等三角形例4.如图所示，△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，试说明AB=AC+CD。21DBCA变式练习：1.如图，在ABC中，BDABCDCB＝。求证：于且DBCAD,2。ABCD最优的讲义圆学霸之梦122.如图，已知正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，求证：AB+BE=AC3.如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作∠DMN=60°，射线MN与∠DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?4.操作：如图①所示，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以点D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN。探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明。DACBMNNDACBMNDACBMDABC①②③④最优的讲义圆学霸之梦13说明：（1）如果你经过反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经过说明（1）的过程之后，可以从下列①②的条件中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。①AN=NC（如图1-22②所示）；②DM∥AC（如图1-22③所示）。附加题：若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其他条件不变，再探索线段BM、MN、NC之间的关系，在图1-22④中画出图形，并说明理由。5.如图①所示，在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连结PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足为点E、F。（1）请探索BE、DF、EF这三条线段有怎样的数量关系。若P在DC的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论；（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明。FEFEFEBCCBCBPPADADADP①②③6.如图1，已知在△ABC中，AB=AC，CG是AB上的高，D是BC上一点，且DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。（1）求证：DE+DF=CG；（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，D是BC最优的讲义圆学霸之梦14FEDBCA延长线上一点，点G在AC的延长线上，DG⊥AC于点G，DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F。求证：CFDGDE.7.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．求证：CF=AB+AF．5.倍长中线法构造全等三角形例6.阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明。最优的讲义圆学霸之梦15已知：如图1-23所示，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠D。求证：AB=CD。分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形的性质公理或等腰三角形的判定定理，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等。因此，要证明AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形。先给出如下三种添辅助线的方法，如图1-24（1）（2）（3）所示，请任意选择其中一种，对原题进行证明。AEBCDAEDCBFGAEDCBFAEBCDF（1）（2）（3）变式练习：1.如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是AD上一点，E是AC延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于点F，你认为DF与EF之间有什么关系？你能证明吗？FDCBEA2.在△ABC中，D是BC中点，ED⊥DF。试判断：BE+CF与EF的关系？最优的讲义圆学霸之梦163.如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，且AE=AF。若点M是BC的中点，求证：BE=CF=21(AB+AC)。FMDBCAE专题四、方程思想和转化思想的体会1.方程思想例1.在△ABC中，若3∠A=5∠B，3∠C=2∠B。试判断△ABC的形状。例2.在△ABC中，AB=AC=12cm，BC=6cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向运动。设运动时间为t秒，过D、P两点的直线将△ABC的周长分为两个部分，使其中一个部分是另一个部分的2倍，那么t的值为多少？最优的