曾谨言量子力学(卷1)习题答案

目次第二章：波函数与波动方程………………1——25第三章：一维定态问题……………………26——80第四章：力学量用符表达…………………80——168第五章：对称性与守衡定律………………168——199第六章：中心力场…………………………200——272第七章：粒子在电磁场中的运动…………273——289第八章：自旋………………………………290——340*****参考用书1．曾谨言编著：量子力学上册科学。19812．周世勋编：量子力学教程人教。19793．L．I．席夫著，李淑娴，陈崇光译：量子力学人教。19824．D．特哈尔编，王正清，刘弘度译：量子力学习题集人教。19815．列维奇著，李平译：量子力学教程习题集高教。19586．原岛鲜著：初等量子力学（日文）裳华房。19727．N.F.Mott.I.N.Sneddon:WaveMechanicsanditsApplications西联影印。19488．L.Pauling.E.B.Wilson:IntroductiontoQuantum-Mechanics(有中译本：陈洪生译。科学)19519.A.S.Davydov:QuantumMechanicsPergamonPress196510.SIEGFRIED.Fluegge:PracticalQuantum-Mechanics（英译本）SpringerVerlag197311.A.Messian:QuantumMechanicsVolI.North.HollandPubs196112.L.Landau,E.Lifshitz:Quantum-Mechanics1958量子力学常用积分公式(1)dxexanexadxexaxnaxnaxn∫∫−−=11)0(n(2))cossin(sin22bxbbxabaebxdxeaxax−+=∫(3)=∫axdxeaxcos)sincos(22bxbbxabaeax++(4)axxaaxaaxdxxcos1sin1sin2−=∫(5)=∫axdxxsin2axaxaaxaxcos)2(sin2222−+(6)axaxaxaaxdxxsincos1cos2+=∫(7)axaaxaxaxaxdxxsin)2(cos2cos3222−+=∫))ln(2222caxxaaccaxx++++(0a)(8)∫=+dxcax2)arcsin(222xcaaccaxx−−++(a0)∫20sinπxdxn2!!!)!1(πnn−(=n正偶数)(9)=∫20cosπxdxn!!!)!1(nn−(=n正奇数)2π(0a)(10)∫∞=0sindxxax2π−(0a)(11))10!+∞−=∫nnaxandxxe(0,=an正整数)(12)adxeaxπ2102=∫∞−(13)121022!)!12(2++∞−−=∫nnaxnandxexπ(14)10122!2+∞−+=∫naxnandxex(15)2sin022adxxaxπ∫∞=(16)∫∞−+=0222)(2sinbaabbxdxxeax(0a)∫∞−+−=022222)(cosbababxdxxeax(0a)第一章量子力学的诞生1.1设质量为m的粒子在谐振子势2221)(xmxVω=中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。提示：利用)]([2,,2,1,xVEmpnnhxdp−===⋅∫)(xV解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为ax≤（1）其中a由下式决定：2221)(amxVEaxω===。a−0ax由此得2/2ωmEa=，（2）ax±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件hnamamdxxamdxxmEmdxpaaaa==⋅=−=−=⋅∫∫∫+−+−222222222)21(22πωπωωω得ωωπmnmnha22==（3）代入（2），解出,3,2,1,==nnEnω（4）积分公式：cauauauduua++−=−∫arcsin22222221.2设粒子限制在长、宽、高分别为cba,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为zyx,,轴方向，把粒子沿zyx,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有()∫==⋅,3,2,1,xxxnhndxp即hnapxx=⋅2（a2：一来一回为一个周期）ahnpxx2/=∴,同理可得，bhnpyy2/=,chnpzz2/=,,3,2,1,,=zyxnnn粒子能量++=++=222222222222)(21cnbnanmpppmEzyxzyxnnnzyxπ,3,2,1,,=zyxnnn1.3设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。提示：利用,,2,1,20==∫nnhdpπϕϕϕp是平面转子的角动量。转子的能量IpE2/2ϕ=。解：平面转子的转角（角位移）记为ϕ。它的角动量.ϕϕIp=（广义动量），ϕp是运动惯量。按量子化条件,3,2,1,220===∫mmhpdxpϕπϕπmhp=∴ϕ，因而平面转子的能量ImIpEm2/2/222==ϕ，,3,2,1=m1.4有一带电荷e质量m的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.(解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动,设圆半径是r,线速度是v,用高斯制单位，洛伦兹与向心力平衡条件是:rmvcBev2=(1)又利用量子化条件,令=p电荷角动量=q转角ϕnhmrvmrvdpdq===∫∫πϕπ220(2)即nhmrv=(3)由(1)(2)求得电荷动能=mcnBemv2212=再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能=cBrevcc*****2π==场强线圈面积电流场强磁矩,v是电荷的旋转频率,rvvπ2=,代入前式得运动电荷的磁势能=mcnBe2(符号是正的)点电荷的总能量=动能+磁势能=E=mcnBe2(3,2,1=n)1.5，1.6未找到答案1.7（1）试用Fermat最小光程原理导出光的折射定律αα2211sinsinnn=（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难：如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理∫=0pdlδ认为mvp=则∫=0pdlδ这将导得下述折射定律αα1331sinsinnn=这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：2cEvp=仍就成立，E是粒子能量，从一种媒质到另一种媒质E仍不变，仍有∫=0pdlδ，你怎样解决矛盾？（解）甲法：光线在同一均匀媒质中依直线传播，因此自定点A到定点B的路径是两段直线：光程QBAQInn21+=设A，B到界面距离是a,b(都是常量)有αα2211secsecbaInn+=又AB沿界面的投影c也是常数，因而α1，α2存在约束条件：cbtgatg=+αα21（2）求(1)的变分,而将α1,α2看作能独立变化的,有以下极值条件0secsec22221111=+=ααααααδdtgbtgaIndn(3)再求（2）的变分0secsec222112==+cdbadδαααα(3)与(4)消去α1d和α2d得αα2211sinsinnn=(5)[乙法]见同一图,取x为变分参数,取0为原点，则有:)(222221xcbxaInn−+++=求此式变分,令之为零,有：0)()(222221=−+−−+=xcbxxcxaxxInnδδδ这个式子从图中几何关系得知,就是(5).(2)按前述论点光若看作微粒则粒子速度v应等于光波的群速度vG光程原理作0=∫dlvGδ,依前题相速vvGpc2=,而cncvvpG==2,n是折射率,n是波前阵面更引起的,而波阵面速度则是相速度vp,这样最小作用量原理仍可以化成最小光程原理.∫=0ndlδ前一非难是将光子的传播速度v看作相速度vp的误解.1.8对高速运动的粒子(静质量m)的能量和动量由下式给出:2221cvmcE−=(1)2221cvmvp−=(2)试根据哈密顿量2242pccmEH+==(3)及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速.(解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组:pqiiH∂∂=⋅,本题中vqi=⋅,ppi=,因而224222242pccmpcpccmpv+=+∂∂=(4)从前式解出p(用v表示)即得到(2).又若将(2)代入(3),就可得到(1)式.其次求粒子速度v和它的物质波的群速度vG间的关系.运用德氏的假设:kp=于(3)式右方,又用ω=E于(3)式左方,遍除h:)(22242kkccmωω=+=按照波包理论，波包群速度vG是角频率丢波数的一阶导数：22242kccmkvG+∂∂==22422222422pccmpckccmkc+=+最后一式按照（4）式等于粒子速度v，因而vvG=。又按一般的波动理论，波的相速度vG是由下式规定kvpωυλ==（υ是频率）利用（5）式得知cckcmvp+=22242（6）故相速度（物质波的）应当超过光速。最后找出vG和vp的关系，将（1）（2）相除，再运用德氏波假设：vGcvckpE22===ω，vvGpc2=（7）补充：1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，∞=axaxxxV0,0,0,)(试用deBroglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。解：据驻波条件，有),3,2,1(2=⋅=nnaλna/2=∴λ（1）又据deBroglie关系λ/hp=（2）而能量(),3,2,12422/2/2222222222==⋅===nmanamnhmmpEπλ（3）[1]试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能2221)(xmxVω=](解)(甲法)可以用Wilson-Sommerfeld的量子化条件式:∫=nhpdq在量子化条件中,令⋅=xmp为振子动量,xq=为振子坐标,设总能量E则22222xmmPEω+=)2(222xmEmpω−=代入公式得:nhdxxmEm=−∫)2(222ω量子化条件的积分指一个周期内的位移,可看作振幅OA的四倍,要决定振幅a,注意在A或B点动能为0,2221amEω=,(1)改写为:nhdxxamaa=−∫−222ω(2)积分得:nham=πω2遍乘πω21得ωπωnhE==2[乙法]也是利用量子化条件,大积分变量用时间t而不用位移x,按题意振动角频率为ω,直接写出位移x,用t的项表示:taxqωsin==求微分:tdtadxdqωωcos==(4)求积分:tmaxmpωωcos==⋅(5)将(4)(5)代量子化条件:nhtdtmapdqT==∫∫0222cosωωT是振动周期,T=ωπ2,求出积分,得nham=πω2ωπωnnhE==23,2,1=n正整数#[2]用量子化条件,求限制在箱内运动的粒子的能量,箱的长宽高分别为.,,cba(解)三维问题,有三个独立量子化条件,可设想粒子有三个分运动,每一分运动是自由运动.设粒子与器壁作弹性碰撞,则每碰一次时,与此壁正交方向的分动量变号(如ppxx−→),其余分动量不变,设想粒子从某一分运动完成一个周期,此周期中动量与位移同时变号,量子化条件:ppnqpxaxxxxadxhd220===∫∫(1)ppnqpybyyyybdyhd220===∫∫(2)ppnqpzczzzzcdzhd220===∫∫(3)pppzyx,,都是常数,总动量平方222zyxpppp++=总能量是:)(2122222zyxpppmmpE++===])2()2()2[(21222chbhahmnnnzyx++=])()()[(82222cbamhnnnzyx++但3,2,1,,=nnnzyx正整数.#[3]平面转子的转动惯量为Ι,求能量允许值.(解)解释题意:平面转子是个转动体,它的位置由一坐标（例如转角ϕ）决定,它的运动是一种刚体的平面平行运动.例如双原子分子的旋转