第4章飞行器设计优化

第四章多变量寻优方法直接法：降维法：把一个多变量问题转化为一系列较少变量的问题模式法：按照事先规定的一些模式进行搜索的一种寻优方法随机试验法：利用概率统计中随机选点的概念间接法：梯度法共轭梯度法变尺度法4.1.降维法把一个多变量问题转化为一系列较少变量的问题4.1.1.坐标轮换法4.1.1.1.基本思想将一个n维的多变量优化问题，转化为一系列一维优化问题来求解。每次都沿坐标轴进行一维搜索，所以称之为坐标轮换法。计算方法坐标方向TnTTeee]1,,0,0[]0,,1,0[]0,,0,1[21起始点TnxxxX],,,[002010搜索方向：neee,,,21最优点：nX迭代停止：nX与0X之差小于允许误差迭代轮次限制4.1.1.2.迭代步骤1：给定起始点0X，允许误差1,1,0kj2：进行一维搜索，求出最优解j)()(11jjjjjeXfeXfMin直到沿n个坐标轴方向ne进行优化)()()(11nnnnnneXfXfeXfMin3：判断是否满足收敛性判别准则0XXn，则停止迭代，minXXn否则重复以上步骤4.1.1.3.迭代框图4.1.1.4.优缺点优点：道理浅显、方法简单，容易掌握。缺点：寻优效果取决于目标函数的性态。给定：起始点0X、精度、维数n、限定轮次m、各坐标轴方向),,2,1(njejj=1,k=1求j：)()(11jjjjjeXfeXfMin且令jjjjeXX1jn0XXnkmj=j+1nXX0j=1k=k+1结束开始nXXmin是是是否否否4.1.2.转轴法4.1.2.1.思路n维问题，1：假定有了初始点0X及n线性无关的向量),,2,1(1njRj（不妨假设为坐标轴方向),,2,1(njej。2：先与坐标轮换法相同，即分别沿着各1jR方向进行一维搜索，求出最小点1X，显然1X与0X连线的方向是目标函数值下降较快的方向。3：使新的n个线性无关向量),,2,1(2njRj中21R的方向与01XX方向一致。4：就可以从1X出发，在分别沿这n个方向求新的极小点，直到满足收敛条件时停止。4.1.2.2.迭代框图4.1.2.3.优缺点优点给定：起始点0X、精度、维数n、限定轮次m、各坐标轴方向),,2,1(njejj=1,k=1求j：)()(11jjjjjpXfeXfMin且令jjjjpXX1jn0XXnkmj=j+1nXX0j=1k=k+1结束开始nXXmin),,1(niepii用DSC方法计算旋转方向),,1(nipi是是是否否否可以处理目标函数有直脊线的情况，与坐标轮换法相比较有所改进。缺点仍然存在着坐标轮换法出现的，寻查路线太曲折，收敛速度较慢的明显缺点。4.1.3.方向加速法（Powell法）4.1.3.1.方法将n维的多变量优化问题转化为一系列单变量优化问题的降维方法。应用广泛。以共轭方向为搜索方向，属于共轭方向法。，如果目标函数是n维的二次函数，只需搜索n次就能找到极小点。4.1.3.2.共轭方向n维欧式空间中的向量],,,[21knkkkpppp],,,[112111knkkkpppp正交：0][1kTkpp，kp和1kp不为零共轭：0][1kTkCpp，kp和1kp不为零，C对称正定矩阵，则称向量1kp和kp对（n×n）阶对称矩阵C共轭。C=I，即正交。共轭方向：是正交方向经过坐标转换得到的。1121kkpCZkkpCZ210][1kTkZZ则0][][][1112121kTkkTkkTkCpppCCpZZ例：二元二次正定函数)0,0(2)(2222121bacacxxbxaxXf，等高线为以原点为中心的同心椭圆族2221xabacvxabxau222222212221212)(vuxzbacxabxacxxbxaxXf则，),(21xx平面同心椭圆族，（u,v）平面变为同心圆族),(21xx平面上2p与1p共轭，对应（u,v）平面上2Z与1Z正交二维正定二次函数的特点1：二维正定二次函数的等值线为椭圆线，且椭圆的中心都是二维正定二次函数的极小点。2：过椭圆族中心作任意线，该直线与各椭圆有交点，其任何两个交点处的切线都互相平行。4.1.3.3.方向加速法中应用共轭方向的原理11ep22ep023XXp2p3p0X———→1X———→2X—————→3X———→)1(X———→)2(X)2(34XXp)2(X—————→X4.1.3.4.迭代步骤1：给定起始点0X，允许误差0，n个初始探测方向),,1(1njepjj，k=1；当k1时，寻优方向),,1(njpkj根据前（k-1）阶段方向代换来确定。2：从0X出发，依次沿),,1(njpkj方向进行以为搜索)()(11kjjkjjjpXfMinpXfkjjjjpXX1找出n个一维搜索种目标函数下降最快的第m个方向及目标函数下降值d，使得)]()([)()(1,,11jjnjmmXfXfMaxXfXfd3：判别是否满足收敛性判别准则0XXn若满足，迭代停止，得到最优解nXXmin否则进行44：沿0X到nX连线方向延长一倍，得到1nX点012XXXnn5：判别是否满足dXfXfXfnn)]()(2)([21)10若满足，则令nXX0，并转至2否则，令01XXpnkn进行66：进行方向替换),,()1,,1(111nmjppmjppkjkjkjkj7：在（n+1）方向上进行一维搜索)()(111knnnknnpXfpXfMinknnnpXX1108：判断是否k=n若满足，则k=1，返回1否则，k=k+1，转向24.1.3.5.迭代框图给定：起始点0X维数精度坐标轴方向),,1(njejk=1),,1(njepjjj=1d=0kjjjjjjjjjpXXpXfMinpXf111)()(dXfXfjj)()(1j=nj=j+1jmXfXfdjj)()(10XXn012XXXnndXfXfXfnn)]()(2)([)1021),,(01nmjppXXpjjnnnnnnnnnnpXXpXfpXfMin101)()(knnXXmin结束k=k+1nXX0超出变量空间0X取在边界上方向替换是否是是否否否是是否4.2.模式法按照事先规定的一些模式进行搜索的一种寻优方法。操作简单、便于记忆，便于在计算机上实现。步长加速法、单纯形加速法。4.2.1.步长加速法（PatternSearchMethod或Hooke-Jeeves法）4.2.1.1.基本思想探测性移动：探索有利方向模式性移动：循着有利方向（近似负梯度方向）加速参考点：探测性移动的起点，模式性移动的终点，iR基点：探测性移动的终点，模式性移动的起点，iB4.2.1.2.基本原理参考点探测基点模式参考点探测基点模式参考点1R————→21,BB————→2R————→32,BB————→R1121iiiiiRBXXR若探测性移动成功)()(2iiBfXf，则进行模式性移动iiiBBR112若探测性移动不成功)()(2iiBfXf，则退至前一个基点作为参考点iiBR1若探测性移动不可行)()(1iiBfXf，则退至前一个基点作为参考点重新探测若在此探测失败，则缩短步长，再探测，直到满足精度为止。4.2.1.3.迭代步骤1：给定起始点0X，允许误差0，初始步长，缩步系数1a，各坐标轴方向),,1(niei，维数n令起始点为参考点和基点，即02101,XBBXR2：从参考点1R出发，以此沿坐标轴ie方向以步长进行探测202BX110RBX01X1222BBR65RB312BX11X2332BBR422BX21X3442BBR532BX31X4552BBR41X42X652BX51X5672BBR762BX61X6782BBR872BX71X7892BBR108RB81X缩短步长再探测91X停止)](),([)(,)()()(,)()(,1iiiiiiiiiiiiiiiiiiieRfeRfMinRfReRfRfeRfeRRfeRfeRR当当当经过这样一系列探测性移动以后，得到1nR3：沿着两个基点连线方向进行模式性移动1212212)(BBBBBR重置i=1，转向24：判断是否满足21BR若满足，说明参考点已经是基点，转向5否则，把参考点取为基点，令21BR，转向25：检验是否满足收敛性判别标准若满足，则迭代停止，得到最优解2minBX否则，缩短步长1,ia转向24.2.1.4.迭代框图优点：方法容易可靠缺点：维数多时比较复杂，极点值附近收敛较慢4.2.2.单纯形加速法（SimpleMethod或NelderandMead’sMethod）单纯形：n维空间中n+1个顶点所组成的图形。基本思想先确定初始单纯形，在定点上做试验，进行比较，丢掉坏点。然后应用“反射”、“延伸”、“收缩”、“缩小边长”等方法，逐步逼近函数的极小值点。4.2.2.1.基本原理好点：)(gX目标函数最小的点坏点：)(bX目标函数最大的点其余点：)(iX反射点：)(rX延伸点：)(eX收缩点：)(krX靠近反射点)(kbX靠近坏点4.2.2.2.迭代步骤1：以给定起始点作为单纯形的一个顶点，选正单纯形（边长相等）作为初始单纯形。),,,(),,,(),,,()1()1(2)1(1)1()1()1(2)1(1)2()1()1(2)1(1)1(pxqxqxXqxqxpxXxxxXnnnnannqannnp2112112：选目标函数之最小的顶点（好点）和最大的顶点（坏点），并计算坏点以外的单纯形其余顶点的中心点。)()()()()()()()()(iigbigXFXFXFXXX)()()(brXXXX反射)()()()(grXFXF)(2)()(XXXXre延伸)()()()(geXFXF)()()()(geXFXF)()()(,,igeXXX)()()(,,igrXXX)()()()(brXFXF)()()(,,irgXXX)()()()grXFXF)()()()(irXFXF)(5.0)()(XXXXbkb收缩收缩)()()()()()(briXFXFXF)(5.0)()(XXXXrkr)()()()(bkXFXF)()()()(bkXFXF)()()(,,ikgXXX缩小边长新单纯形迭代至顶点目标函数值或边长满足精度11)()()()()(1)1,,1()()()()(nbiiiigigXnXniXfMaxXfXfMinXf3：反射将坏点通过中心点反射，得到反射点。)()()(brXXXX（反射系数0）若)()()()(grXfXf，即反射点比好点好，转向4若反射点比好点差，但比其余各点都好，则以新点)(rX替代坏点)(bX，转向7否则，转向54：延伸沿中心点到反射点方向加大步长，得到延伸点。)()()(XXXXre（延伸系数0）若)()()()(reXfXf，即延伸点比反射点好，则以延伸点)(eX替代坏点)(bX，转向7否则，以反射点)(rX替代坏点)(bX，转向75：收缩若)()()()(brXfXf，即反射点比坏点差，，则以坏点收