清华大学计算固体力学第七次课件-ALE公式

非线性有限元第7章任意的Lagrangian和Eulerian公式计算固体力学第7章任意的Lagrangian和Eulerian公式1引言2ALE连续介质力学3ALE守恒规则4ALE控制方程5弱形式6网格更新算法7Petrov-Galerkin方法1引言解决：在发生严重大变形的模拟中，重新划分网格是不可避免的，工作量大，而且由于网格投影引入了误差。提出：许多问题应用Lagrangian网格不能有效地解决。问题：当材料严重变形时，Lagrangian单元同样发生严重的扭曲，因为它们随材料一起变形，从而恶化了这些单元的近似精度，特别是对于高阶单元。因此，在积分点的Jacobian行列式可能成为负值，从而使计算中止或者引起严重的局部误差。此外，也恶化了线性化牛顿方程的条件，并且显式稳定时间步长明显地下降。一个Lagrangian网格像在材料上的蚀刻：当材料变形时，蚀刻(和单元)随着变形。一个Eulerian网格像放在材料前面一薄片玻璃上的蚀刻：当材料变形时，蚀刻不变形，而材料横穿过网格。1引言Lagrangian网格，材料点与网格点保持重合，单元随材料变形，适合描述固体与结构的变形，但容易严重扭曲。解决方法：ALE网格(ArbitraryLagrangianEulerian)节点能够有序地任意运动，在边界上的节点保持在边界上运动，内部的节点运动使网格扭曲最小化。1引言1引言MeshadaptivityisbasedonsolutionvariablesaswellasminimumelementdistortionElementsconcentrateinareaswheretheyareneededAdaptationisbasedonboundarycurvatureDeformationofarubbersealInitialconfigurationUniformadaptivitySolution-dependentadaptivity1引言在某些问题中，Lagrangian方法是根本不适用的。例如，对于高速流动的流体力学问题，如围绕机翼的区域，喷射等。在Eulerian有限元中，网格与物质是相互独立的，网格在空间上是固定的，材料从网格中流过。这样Eulerian有限元不会随着材料运动而扭曲；但是，由于材料通过单元对流，本构方程的处理和更新是复杂的。应用Eulerian单元处理移动边界和相互作用问题是困难的，因此，发展了ALE。2ALE连续介质力学),(tXφx材料坐标与空间坐标),(ˆtχφx空间坐标与ALE坐标在Lagrangian、Eulerian和ALE域之间的映射ALE坐标（参考）),()),,((ˆ),(ˆ11ttttXΨXΦΦxΦχALE坐标与材料坐标相对运动关系2ALE连续介质力学在ALE算法中，网格运动是预先设置的或者是由计算得到的。χ),χ(Φˆχx),χ(uˆtt网格位移][,ˆˆ),(ˆ),(vˆχΦΦχΦχttttt网格速度网格加速度]χ[22,ˆ),χ(ˆ),χ(ˆˆttttttuuvaALE网格的加速度和速度没有任何物理意义。当网格是Lagrangian时，它们对应于材料速度和加速度。定义传递速度c，作为材料速度和网格速度之间的差iiivvcˆc＝0，为L格式；c＝v，()为E格式。icivivˆ0ˆiv2ALE连续介质力学考虑一个指定的函数),(tfχ为ALE坐标和时间t的函数χtfftttfttftfDtDfiitii][,),(),(),(),(Xχχχ参考质点速度w][),(XXtttwiiijjijjiiiiwtxtttxvvc),(),(),(ˆχXχ材料速度和网格速度的差][ˆ),(Ψ),(ˆ),(ˆ),(XiijjiijjjjtxvtttttttvXχχX对于材料速度ΨΦXΨΦXΦxˆ)),,((ˆ),(ttt),X(tΨχ2ALE连续介质力学jjtiijjtXiijjtcffwxfftxxffDtDf,,,,,][][][][ffffDtDfttccΧΧ][][,grad,利用空间梯度建立材料时间导数的表达式代入f若代表是速度，上式为加速度jjitiicvvv,,][坐标之间的转换关系见例7.1。(7.2.17)3ALE守恒规则守恒规则，在形式上与在第3章Eulerian描述中的那些几乎相同，唯一的修改是用材料时间导数的ALE形式(7.2.17)代替所有的材料时间导数，其结果是在更新的L格式中的Eulerian描述和ALE描述之间的唯一区别是材料时间导数项。与在第4章中建立的Lagrangian格式的主要区别是，现在需要以偏微分方程(即连续方程)的形式考虑质量守恒方程，因为域随时间变化，质量亦随时间变化。因此，我们几乎总是在处理两个系统的偏微分方程：标量连续方程和向量动量方程。当它们与热交换或者其它能量转换耦合时，还必须包括能量方程。4ALE控制方程连续方程(质量守恒)0,kkv0,,,][kkiitvc或者动量方程ijjijjitiibcvvv,),,(][能量方程skvbDcEEijijiiijijiit),,(),,(][自然边界条件),(),(),(ttnttjijiχχχ在上it))(,(),(,),,(),(0tkttktqijijiχχχ在上qΓ基本位移边界),(),(tutuiiχχ在上iu),(),(ttχχ在上u初始条件)()0,(0XX)()0,(0XX5弱形式有限元近似)()()eIIeeeNξξξ(χχ对于单元e，ALE坐标给出为单元e坐标网格运动给出为)(ξx)ξ(χφ)x(ξeIIeheNtt)(),(ˆ节点的运动这代表两个映射复合：从母单元到ALE的映射和网格运动的映射网格速度为)ξ()(vˆ)ξ()(x),χ(φˆeIIeIIhNtNtttv节点I的网格速度Lagrangian、Eulerian、ALE和自然坐标域之间的映射5弱形式有限元近似即单元坐标、网格坐标、空间坐标和材料坐标之间的映射5弱形式有限元近似在ALE格式中，密度也是一个非独立变量。密度被近似为)()(),(eIIeNtt密度的形状函数，可能不同于网格运动的形状函数vcvv][,t速度的材料时间导数在离散运动方程中的动力学项将以网格加速度v,t表示，通过积分和插值，给出材料速度为)()()),((IINttvχv应用类似的插值，得到传递速度为)()()),((ξcξχcIINtt5弱形式有限元近似)())(ˆ)(()),((ξvvξχcIIINttt由传递速度公式iiivvcˆ得到材料速度的ALE时间导数)()(,][IItNdttdvv)()()),((IINttvχv结论是，在弱形式中的材料速度的时间导数为)()(),()()(tNtNdttdIIIIvξξcξvv对于密度的材料时间导数，应用同样的过程，给出)()ξ(),ξ(c)ξ()(tNtNtdtdIIII5弱形式有限元矩阵0ρKρLMdtd连续方程容量、转换和散度矩阵分别为dNNMJIJI][MdNcNLiJiIJI,][LdNvNKJiiIJI,][K][JρdtddtdJρ动量方程extintffLvvMdtdM和L分别是广义质量和传递矩阵，对应于在参考构形下的速度IIM)(][dNNMJIJI5弱形式有限元矩阵动量方程extintffLvvMdtdIIL),(][dNcNLiJiIJIdNfijjIiI,][intintfdtNdbNftiiIiIiI][extextf][JvvdtdvdtdvJ注意到除了它们是以变分形状函数的形式定义之外，内部和外部节点力与更新的Lagrangian格式（框4.3）中的对应项是一致的。质量矩阵不是时间的常量，因为密度和域随时间变化。6网格更新算法在ALE中，网格可以任意移动给出了大变形的可能性。通过ALE移动边界（指物理表面）能够利用Lagrangian的精确特性来循迹，内部网格也可以移动以避免过渡的单元扭曲。然而这需要一种有效的算法来更新网格，即网格速度必须给定，以避免网格扭曲和保证边界和接触面至少局部地保持Lagrangian。vˆ对应于域边界在每一时刻均已知的分析，预先给定网格运动。当域边界有一个已知的运动时，网格随这一边界的运动可以预先给定。6网格更新算法jjijjiiiiwtxtttxvvc),(),(),(ˆχXχ建立材料和网格速度的关系，只有给定其中一个，自动确定另一个1如果给定vˆ，可以计算位移和加速度。dˆaˆ应用显式积分算法和中心差分算法，而不需要计算相对速度w。2如果未知，给定了w，在更新网格前求解上式计算。vˆvˆ发展ALE的核心问题是给定这些速度的最佳选择和更新网格的算法。3给定和w的分量形式，混合算法。vˆ1.当域边界有一个已知的运动时，网格随这一边界的运动可以预先给定。6网格更新算法2.Lagrange-Euler矩阵方法，任意定义相对速度（参考）jijijXiivtw)(|Lagrange-Euler参数矩阵如果，则，可以是时间和空间的函数。ji0ij由上式，相对速度是材料速度的线性函数，如果，则，Lagrangian网格描述。ijij0iwij0ijvw如果，则，Eulerian网格描述。6网格更新算法kjkjkjiivxcjjijjiiiiwtxtttxvvc),(),(),(ˆχXχ由传递速度和相对速度jijijXiivtw)(|得到jikjkjkiixvvvˆ在参考域边界上必须满足后一个方程。得到一个网格再分区的基本方程：0ijikjkjkivxvtx在二维情况下的显式格式如下：01121111vxvtxk01222222vxvtxk0ij1ij问：或分别对应什么格式？6网格更新算法带有网格更新的ALE技术基于L-E参数，对表面波动问题是非常有用的。我们假设自由表面相对于总体坐标是有导向的，曲面方程可以写为),,(2133txxxxss2211,xx欧拉坐标用于方向，自由表面通过一个空间坐标定义，它对其余两个空间坐标和时间是连续可微的函数，L-E矩阵只有一个非零项333333332321313)1(ssssxvvxvxvtx一般等于133333333321)1(),,,(sssxwxvtxxx称为累计率函数，表示在自由表面得到或失去的质量。自由表面是物质表面；沿着表面累计率必须为零；所以等于1336网格更新算法在贮箱内的液体晃动自由表面的液体晃动CoupledequationsFreesurfaceFluid-structureinterfaceSfSw1OnSw:thegeometricalcompatibilityconditions(slippingboundarycondition)areapplied:nunusolidfluid2OnSw:theequilibriumconditionsareapplied:0sisijfifijnn6网格更新算法El