清华大学计算固体力学第九次课件-梁和壳

非线性有限元第9章梁和壳计算固体力学第9章梁和壳1引言2梁理论3基于连续体的梁－CB梁4CB梁的分析5基于连续体的壳－CB壳6CB壳理论7剪切和膜自锁8假设应变单元9一点积分单元1引言第8章介绍了平面单元(二维)和实体单元(三维)在二维问题中，最经常应用的低阶单元是3节点三角形和4节点四边形。在三维单元中，是4节点四面体和8节点六面体单元。实体单元壳单元梁单元刚体单元桁架单元弹簧和粘壶无限单元膜单元结构单元可以分类为：梁，运动由仅含一个独立变量的函数描述；壳，运动由包含两个独立变量的函数描述；板，即平面的壳，沿其表面法线方向加载；膜，面内刚度很大，面外刚度很小的薄壳。1引言1引言在工程构件和结构的模拟中，梁和壳及其他结构单元是极为有用的。应用薄壳，如汽车中的金属薄板，飞机的机舱、机翼和风向舵；以及某些产品的外壳，如手机、洗衣机和计算机。用连续体单元模拟这些构件需要大量的单元，如采用六面体单元模拟一根梁沿厚度方向至少需要5个单元，而既便采用低阶的壳单元也能够代替5个或者更多个连续体单元，极大地改善了运算效率。应用连续体单元模拟薄壁结构常常导致较高的宽厚比，从而降低了方程的适应条件和解答的精度。在显式方法中，根据稳定性的要求，采用连续体单元的薄壁结构被限制在非常小的时间步。1引言通过两种途径建立壳体有限元：1应用经典壳方程的动量平衡(或平衡)的弱形式；2结构的假设直接由连续体单元建立－基于连续体(CB)方法。第一种途径是困难的，尤其是对于非线性壳，因为对于非线性壳的控制方程是非常复杂的，处理起来相当不方便；它们的公式通常由张量的曲线分量来表示，并且其特征，诸如厚度、连接件和加强件的变量一般也是难以组合。而且对于什么是最佳的非线性壳方程的观点也不一致。第二种CB方法(基于连续体)是直观的，得到非常好的解答，它适用于任意的大变形问题并被广泛地应用于商业软件和研究中。因此，我们将关注CB方法。这种方法也称为退化的连续体方法。1引言在大多数板壳理论中，通过强制引入运动假设建立平衡或者动量方程，然后应用虚功原理推导偏微分方程。在CB方法中，在连续体弱形式的变分和试函数中强制引入运动假设。因此，对于获得壳和其它结构的离散方程，CB壳方法更加直观。在关于壳的CB方法中，由两种途径强化运动假设：1）在连续体运动的弱形式中，或者2）在连续体的离散方程。由二维梁描述CB方法编程特点，应用第一种途径的理论，检验CB梁单元。建立CB壳单元，编程，发展CB壳理论，结合由于大变形在厚度上变化的处理方法，给出在三维问题中描述大转动的方法。CB壳单元的两点不足：剪切和膜自锁。将描述假设应变场的方法防止发生自锁，给出了缓和剪切和膜自锁的单元例子。描述应用在显式程序中的4节点四边形壳单元－一点积分单元。这些单元是快速和强健的，并且适用于大规模问题的计算。当结构一个方向的尺度(长度)明显大于其它两个方向的尺度，并且沿长度方向的应力最重要时，可以用梁单元模拟。梁理论的基本假设是：由一组变量可以完全确定结构的变形，而这组变量只是沿着结构长度方向位置的函数。应用梁理论获得可接受的结果，横截面尺度必须小于结构典型轴向尺度的1/10。典型的轴向尺度为：•支承点之间的距离；•横截面发生显著变化部分之间的距离；•所关注的最高阶振型的波长。梁单元假设在变形中垂直于梁轴线的横截面保持平面。不要误解横截面的尺度必须小于典型单元长度1/10的提法。高度精细的网格中可能包含长度小于其横截面尺寸的梁单元(尽管一般不建议这样做)，在这种情况下实体单元可能更适合。2梁理论2梁理论梁理论的假设运动学假设关注梁的中线(也称为参考线)的运动。由垂直于中线定义的平面称之为法平面。梁横截面几何形状广泛应用的梁理论有两种：其运动学假设是：Euler-Bernoulli梁：假设中线的法平面保持平面和法向；称为工程梁理论，而相应的壳理论称为Kirchhoff-Love壳理论。Timoshenko梁：假设中线的法平面保持平面，但不一定是法向；称为剪切梁理论，相应的壳理论称为Mindlin-Reissner壳理论。2梁理论梁理论的假设考虑一点P的运动，它在中线上的正交投影为点C。如果法平面转动视为一个刚体，则P点的速度相对于C点的速度给出为rωvPC2梁理论Timoshenko梁理论在二维问题中，角速度的非零分量是z分量，所以zzeωe.θω法线的角速率yyerrωvPC相对速度为xyerωvPC中线上任何一点的速度是x和时间t的函数，因此有yMyxMxMvvtxeev),(即梁上任何一点的速度是相对速度和中线速度之和yMyxMxMvyveerωvvtxvtyxvtxytxvtyxvMyyMxx,,,,,,,,xyzeee2梁理论Timoshenko梁理论应用变形率的定义MyxxyyyxMxxxxvDDyvD,,21,0,,变形率的非零分量只有轴向分量和剪切分量，后者为横行剪切。),sym(jiijvDtxvtyxvtxytxvtyxvMyyMxx,,,,,,,,由于梁内的变形率是有限的，非独立变量和只要求C0连续，位移（挠度）和截面转动各自独立，使截面发生剪切变形后保持平面。MivEuler-Bernoulli理论运动学假设是法平面保持平面和法向，因此，法线的角速度是由中线的斜率的变化率给出Myxv,上式等价于要求剪切分量为零，表示在法线和中线之间的夹角没有变化，即法线保持法向。轴向速度则给出为txyvtxvtyxvMxyMxx,,,,,变形率给出为0,0,,,xyyyMxxyMxxxxDDyvvD2梁理论021,MyxxyvD注意在上式中的两个特征：1）横向剪切为零；2）在变形率的表达式中出现了速度的二阶导数，梁内的变形率是有限的，即非独立变量的速度场必须为C1连续。Euler-Bernoulli理论2梁理论E-B梁理论常称为C1理论，因为它要求C1近似。转角由位移对坐标的导数给出(区别于Tim梁位移与转角相对独立)。梁单元常常是基于E-B理论，在一维情况下，C1插值是很容易构造的。Timoshenko梁有两个非独立变量(未知)，在E-B梁中只有一个非独立变量。类似的简化发生在相应的壳理论中：在Kirchhoff-Love壳理论中只有3个非独立变量，而在Mindlin-Reissner壳理论中有5个非独立变量（经常应用6个）。E-B梁理论要求C1近似是E-B和Kirchhoff-Love理论的最大缺陷，在多维空间中C1近似是很难构造的。由于这个原因，在软件中除了针对梁之外很少应用C1构造理论。2梁理论横向剪切在厚梁中是明显的，在Timoshenko梁和Mindlin壳中常常应用。当梁趋于薄梁时，Timoshenko梁中的横向剪切在理想性能单元情况将趋于零。因此，在数值结果中也观察到了垂直假设，它隐含着对于薄梁横向剪切为零。这些假设主要是以实验为依据的：这一理论预测与实验测量相吻合。对于弹性材料，梁的闭合形式解析解也支持这一理论。它带来的好处是在有限元程序中，用中厚壳代替薄壳，用铁摩钦柯梁代替伯努利梁。3基于连续体的梁－CB梁为什么要建立CB梁和CB壳：1梁与板壳组合的偏置(offset)2接触问题的处理3边界条件的处理通过指定一个偏置量，可以引入偏置。偏置量定义为从壳的中面到壳的参考表面的距离与壳体厚度的比值。梁作为壳单元的加强部件：（a）梁截面无偏置（b）梁截面有偏置3基于连续体的梁－CB梁建立CB二维梁的公式，结构的控制方程与连续体的控制方程是一致的：质量守恒线动量和角动量守恒能量守恒本构方程应变-位移方程右为CB梁单元，左为母单元。连续体单元的节点仅在顶部和底部，在方向的运动一定是线性的。这些节点称为从属节点3基于连续体的梁－CB梁为常数的线称为纤维，沿着纤维的单位矢量称为方向矢量为常数的线称为迭层主控节点3基于连续体的梁－CB梁从属节点主控节点在纤维将从属节点与参考线连接的内部截面上，引入主控节点，其自由度描述了梁的运动。以主控节点的广义力和速度建立运动方程。在一条纤维上，每一主控节点联系一对从属节点，三点共线。3基于连续体的梁－CB梁假设：1纤维保持直线；2横向正应力忽略不计，即平面应力条件；3纤维不伸缩。0yy第一个假设与经典的Mindlin-Reissner假设中要求法线保持直线是不同的，纤维可以不垂直于中线，称其为修正的M-R假设。如果CB梁单元近似地为Timoshenko梁，其纤维方向尽可能地接近中线的法线方向是必要的，通过指定从属节点的初始位置可以实现这一点。否则，CB梁单元的行为将从根本上偏离Timoshenko梁，并且可能与所观察到的梁的行为不一致。3基于连续体的梁－CB梁注意到纤维的不可伸缩仅适用于运动学描述，不适用于动力学描述。不可伸缩性与平面应力的假设相矛盾：纤维通常接近于y方向，如果，则必须考虑速度应变。0yyyyD通过不使用运动，而是由本构方程来计算，消除了这种矛盾。令，由计算沿厚度方向的变化。这等价于由物质守恒获得厚度，因为平面应力的本构方程与物质守恒有关。然后修正节点内力以反映沿厚度方向的变化。这样，不可伸缩性的假设仅仅适用于运动。yyD0yyyyD假设：1纤维保持直线；2横向正应力忽略不计，即平面应力条件；3纤维不伸缩。0yy3基于连续体的梁－CB梁运动：通过主控节点的平移x(t),y(t)和节点方向矢量的旋转描述运动从x轴逆时针旋转的转角为正)(tI通过对连续体单元的标准等参映射，由从属节点运动给出梁的运动NNNnIIInIIInIIINtNtNtt2111***,,,,xxxx连续体的标准形函数（在节点指标中*代表上节点＋或下节点－）为了使上面的运动与修正的M-R假设相一致，基本连续体单元的形函数在方向必须是线性的。因此，母单元在该方向只有两个节点，沿着纤维方向只能有两个节点。速度场为NNNnIIInIIInIIINtNtNtt2111***,,,,vvvv3基于连续体的梁－CB梁运动在从属节点的运动中，现在强制引入不可伸缩条件和修正的M-R假设thttthttIIIIIIIIpxxpxx0021,21－－pI为主控节点的方向矢量，h0是伪厚度(初始厚度)，因为它是沿着纤维方向在单元的顶部与底部之间的距离。这是连续体单元向CB梁单元转化的关键一步。－－IIIhXX0当前节点的方向矢量给出为IyIxIIIItthtsincos10eexxp＝－＝－总体基矢量3基于连续体的梁－CB梁从属节点的速度是坐标的材料时间导数，服从tthtttthttIIIIIIIIIIpωvvpωvv0021,21－－由每个节点的三个自由度描述主控节点的运动TIMyIMxImastIITIMyIMxImastIIvvtuutdd,dd运动写出矩阵的形式为dTvvmastIITyIxIyIxIslaveIIvvvv上标‘slave’和‘mast’强调连续体节点是从属节点，梁节点为主控节点。3基于连续体的梁－CB梁由于从属节点速度是与主控节点速度相关的，所以节点力的关系为yIxIyIxIIIIIIIIIslaveIITImastIyIxImastIffffxxyyxxyymff10100101ffTf节点力与主控节点的速度是功率耦合的，在I处节点力可以看出nIIIIIIII