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精品小初高学习文件精品小初高学习文件2.3充要条件学习目标1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，弄清对条件的判断应该归结为对命题真假的判断．知识点一充要条件的概念思考1命题“若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数”中条件和结论有什么关系？它的逆命题成立吗？思考2若设p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？梳理一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作______．此时，我们说，p是q的____________，简称____________________________________________________．知识点二充要条件的判断1．由原命题与逆命题的真假情况判断充分条件、必要条件和充要条件若原命题为“若p，则q”，则逆命题为“若q，则p”，那么p与q有以下四种情形：原命题逆命题条件p与结论q的关系结论真假p是q成立的充分不必要条件假真p是q成立的必要不充分条件真真p是q成立的充要条件假假p是q成立的既不充分又不必要条件由上表可得充要条件的判断方法：原命题和逆命题均为真命题，p才是q的充要条件．2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件精品小初高学习文件精品小初高学习文件若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．类型一充要条件的判断例1下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件)(1)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(4)p：sinαsinβ，q：αβ.反思与感悟充要条件的常用判断方法(1)命题判断法：设“若p，则q”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分又不必要条件．(2)集合法：若p与q确定的集合分别是A，B，则当且仅当A＝B时，p是q的充要条件．跟踪训练1(1)“x＞1”是“log12(x＋2)＜0”的()A．充要条件B．充分不必要条件精品小初高学习文件精品小初高学习文件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件(2)设x0，y∈R，则“xy”是“x|y|”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件类型二充要条件的探求与证明命题角度1探求充要条件例2求关于x的一元二次不等式ax2－ax＋1－a0对于一切实数x都成立的充要条件．反思与感悟探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件⇒结论”和“结论⇒条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件．跟踪训练2设a、b、c为△ABC的三边，求方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件．命题角度2充要条件的证明例3求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac0.反思与感悟一般地，证明“p成立的充要条件为q”，在证充分性时，应以q为“已知条件”，p是要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时，则是以p为“已知条件”，q是要精品小初高学习文件精品小初高学习文件证明的“结论”，即p⇒q.跟踪训练3求证：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.类型三充分条件与必要条件的应用例4已知p：3x＋m0，q：x2－2x－30，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．反思与感悟首先应把p与q之间的关系转化为p，q确定的集合之间的包含关系，然后，构建满足条件的不等式(组)求解．同时要注意命题的等价性的应用．跟踪训练4已知p：x≥k，q：3x＋11，如果p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是()A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)C．[1，＋∞)D．(－∞，－1]1．“x22017”是“x22016”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件精品小初高学习文件精品小初高学习文件2．“ab”是“a|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件3．已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论中正确的是()①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充分条件；②Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的必要条件；③Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；④Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件．A．③B．①②C．①②③D．①②③④4．直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切的充要条件是________________．5．已知p：3x＋m0，q：x2－2x－30，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．1．充要条件的判断有三种方法：定义法、命题等价法、集合法．2．充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明是分充分性和必要性两方面来证明的，在证明时要注意两种叙述方式的区别：①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．精品小初高学习文件精品小初高学习文件答案精析问题导学知识点一思考1只要满足条件，必有结论成立，它的逆命题成立．思考2因为p⇒q且q⇒p，所以p是q的充分条件也是必要条件；同理，q是p的充分条件，也是必要条件．梳理p⇔q充分必要条件充要条件知识点二1．p⇒q，但q⇒/pq⇒p，但p⇒/qp⇒q，q⇒p，即p⇔qp⇒/q，q⇒/p题型探究例1解(1)∵四边形的对角线互相平分⇒/四边形是矩形，四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，a＋b＝0D⇒/a2＋b2＝0，∴p是q的充分不必要条件．(3)∵当x＝1或x＝2成立时，可得x－1＝x－1成立，反过来，当x－1＝x－1成立时，可以推出x＝1或x＝2，∴p是q的充要条件．(4)由sinαsinβ不能推出αβ，反过来由αβ也不能推出sinαsinβ，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．则p是q的既不充分又不必要条件．跟踪训练1(1)B[由x＞1⇒x＋2＞3⇒12log2x＜0，12log2x＜0⇒x＋2＞1⇒x＞－1，故“x＞1”是“12log2x＜0”成立的充分不必要条件．故选B.](2)C[当x＝1，y＝－2时，xy，但x|y|不成立；因为|y|≥y，所以若x|y|，则xy.所以xy是x|y|的必要不充分条件．]例2解充分性：当0a45时，判别式Δ＝a2－4a(1－a)＝5a2－4a精品小初高学习文件精品小初高学习文件＝a(5a－4)0，则ax2－ax＋1－a0对一切实数x都成立．而当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a0化为10.显然当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a0对一切实数x都成立．必要性：因为ax2－ax＋1－a0对一切实数x都成立，所以a＝0或a0，Δ＝a2－4a1－a0，解得0≤a45.故0≤a45是不等式ax2－ax＋1－a0对一切实数x都成立的充要条件．跟踪训练2解先由题意求出条件：设α是两方程的公共根，显然α≠0，则α2＋2aα＋b2＝0，①α2＋2cα－b2＝0，②①＋②，得2α2＋2α(a＋c)＝0，∴α＝－(a＋c)．代入①，得(a＋c)2－2a(a＋c)＋b2＝0，即a2＝b2＋c2，以上求条件的过程就是必要性的证明过程．再证明充分性：∵a2＝b2＋c2，∴方程x2＋2ax＋b2＝0，可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，它的解为x1＝－(a＋c)，x2＝c－a.同理方程x2＋2cx－b2＝0可化为x2＋2cx－a2＋c2＝0，它的解为x3＝－(a＋c)，x4＝a－c.∵x1＝x3，∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根．综上所述，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是a2＝b2＋c2.例3证明充分性：∵ac0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac0，∴方程一定有两个不等实根，设两实根为x1，x2，则x1x2＝ca0，∴方程的两根异号，精品小初高学习文件精品小初高学习文件即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设两实根为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝ca0，且Δ＝b2－4ac0，即ac0.综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac0.跟踪训练3证明①充分性：如果b＝0，那么f(x)＝kx，因为f(－x)＝k(－x)＝－kx，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．②必要性：因为f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)对任意x均成立，即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，所以b＝0.综上，一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.例4解由3x＋m0得，x－m3.∴p：A＝x|x－m3.由x2－2x－30得，x－1或x3.∴q：B＝{x|x－1或x3}．∵p⇒q而q⇒/p，∴A是B的真子集，∴－m3≤－1，∴m≥3，即m的取值范围是[3，＋∞)．跟踪训练4B[q：x－1或x2，由题意知，{x|x≥k}{x|x－1或x2}，则k2，∴k的取值范围是(2，＋∞)．]当堂训练1．A2.B3.D4.m＝－4或m＝05．解由3x＋m0，得x－m3，∴p：A＝{x|x－m3}．由x2－2x－30，得x－1或x3，∴q：B＝{x|x－1或x3}．精品小初高学习文件精品小初高学习文件∵p⇒q而q⇒/p，∴AB，∴－m3≤－1，∴m≥3，即m的取值范围是[3，＋∞)．