2-2-第2章-粉体粒径分布的函数形状指数

第2章粉末的性能与表征2.1.2.4粒径分布函数1正态分布2对数正态分布3Rosin-Rammler(WEIBULL分布）第2章粉末的性能与表征（1）正态分布自然界中，凡是随机现象均是许多偶然因素共同作用的总和，一切随机现象都具有其必然性，即它们出现的频率总是符合统计规律地在某个常数附近摆动，这个随机现象的概率模型就是正态分布。式中:x——自变量；a——平均值；σ——标准偏差。正态分布的概率密度函数（频率分布的函数）由式（2.12）给出：222)(,21aae（2.12）第2章粉末的性能与表征1d,axx）（图2.10给出了不同参数的正态分布密度函数图形。其中：a=0，σ=1为标准正正态分布，此时的正态分布函数为式（2.13）：（2.13）a称为正态分布的位置参数，a愈大，函数图形越向右侧移动。σ的大小与曲线的形状有关，σ越小，曲线越尖陡，粒度分布取值越集中，粒度分布越窄；σ越大，则相反。通常称σ为正态分布的形状系数。第2章粉末的性能与表征图2.10正态分布函数图形第2章粉末的性能与表征22pp2p0e21q）（）（DDDNDnDipip212])([NDDnppii用正态分布函数表征粉体粒径分布时，x指颗粒粒径，a为平均粒径(Dp)，φ(x)表示颗粒x频率分布函数，是指颗粒数、质量或其他参数对粒径的导数。若以个数为基准，粒径正态频率分布函数式表示为：（2.15）式中ni——直径为Dpi的颗粒数量；N——颗粒总数；——与累积含量为50%时的粒径相对应（Q0=0.5）。（2.14）（2.16）其中：pD第2章粉末的性能与表征pD）（）（）（p0ln2lnlngp0lnddeln21lnqg22gpDQDDD（2）对数正态分布粉体的粒径分布有时也出现非对称分布，这时将正态分布函数中的Dp和σ分别用ln和lnσg取代，得到对数正态频率分布函数式为（2.17）：（2.17）第2章粉末的性能与表征)lnDdeln21p0ln2lnlng0pg22gp（）（DDDQ式2.17的频率分布函数也可转变为累积分布函数，如式（2.18）：（2.18）NDnDpiiglnlnNDlnDlnngpi2igln）（几何平均粒径Dg和几何标准偏差σg分别由式(2.19)和式(2.20)给出：（2.19）（2.20）第2章粉末的性能与表征依据表2.5数据，绘制出图2.11粒径的对数正态分布图。虚线和实线分别表示以质量为基准和以数量为基准，显然两者分布明显不同。图2.11粒径的对数正态分布第2章粉末的性能与表征np-bD0e1Q（3）Rosin-Rammler（WEIBULL）分布粉碎后粒径分布范围很宽的细粉，利用对数正态分布函数计算时偏差仍然很大。Rosin、Rammler和Sperling等人通过对煤粉、水泥等物料粉碎实验的概率和统计理论研究归纳出用指数函数表示的粒径分布关系式，称为RRS方程。累积分布表达式(2.21)为：在此基础上经过Bennet研究，取b=，则指数一项可写成无因次项，既得到RRB方程，累积分布表达式为（2.22）：，（2.21）ne1D第2章粉末的性能与表征当Dp=De时，即，De定义为累积分数达63.2%时的粒径。，neDpD0eQ）（1（2.22）6320e11-0.Q式中:n——均匀性指数，表示粒径分布范围的宽窄，与粉体物料的性质及其粉碎设备有关，对于同一种粉体，n为常数；De——特征粒径，表示颗粒宏观上的粗细程度。第2章粉末的性能与表征RRB能比较好的反应工业上粉磨产品的粒径分布特性，被广泛使用。图2.12粒径的Rosin-Rammler累积分布图依据表2.5数据，绘制出粉末颗粒的Rosin-Rammler累积分布如图2.12所示。第2章粉末的性能与表征2.1.3平均粒径设颗粒群粒径分别为：d1，d2，d3，d4，d5…di…dn组成的集合体，其物理特性可表示为函数f(d)，f(d)由组成粉体的各个粒径函数的加成表示，关系式为(2.24)：f(d)=f(d1)+f(d2)+f(d3)+…+f(dn)（2.24）若将粒径不等颗粒群想象成由平均粒径D均一球形颗粒组成，那么其物理特性可表示为f(d)=f(D)。基于上述定义，可以推导出以个数为基准和质量为基准的平均径计算公式。第2章粉末的性能与表征【例1】设粉末由d1，d2，d3，d4，d5…di…dn颗粒组成，每种颗粒个数对应为n1，n2，n3，n4，n5…nn，试由颗粒总长这一特性推导其平均粒径。解：颗粒群的总长可表示成式（2.25）：n1d1+n2d2+n3d3+…nidi…nndn=∑(nd)=f(d)(2.25)将全部颗粒视为粒径为D均一颗粒，式(2.25)中的d由D代替，得:n1D1+n2D2+n3D3+…niDi…nnDn=∑(nD)=D∑n=f(D)(2.26)第2章粉末的性能与表征由f(d)=f(D)可得∑（nd）=D∑n（2.27）整理（2.27）式可得式（2.28）：D=∑(nd)/∑n（2.28）此粒径即为以个数为基准的个数平均径。【例2】设颗粒是边长为d的立方体，颗粒群的总质量为∑m，颗粒密度为ρp，试由比表面积的定义函数求平均粒径。第2章粉末的性能与表征解：比表面积定义为：f(d)=(2.29)mnddndn）（）（23ipi2ii66当全部颗粒视为边长为D的立方体时：定义函数为式为：（2.30）mnDDnnDDf）（）（）（26326p由f(d)=f(D)可得出式（2.31）：(2.31)mnd）（26mnD）（26=第2章粉末的性能与表征将方程式（2.31）两边同乘以ρpD，整理得：式(2.32)以质量为基准粉体平均粒径计算公式。])([3p2pdndmndmD(2.32))(dmm第2章粉末的性能与表征nnd）（）（）（32dmdm）（）（ndnd2）（）（2dmdm）（）（23ndnd）（dmm）（）（34ndndmmd）（表2.7个数基准和质量基准的平均粒径式序号平均径名称符号个数基准质量基准物理意义（形状系数φs、φv）平均径1个数平均径D1长度、个数平均2长度平均径D23面积平均径D3Sw=φ(ρDs)为颗粒群比面积4体积平均径D4第2章粉末的性能与表征5平均表面积径DsΦsDs2为平均颗粒表面积6平均体积径Dv7体积长度径DvdΦvDv3是平均颗粒的体积，是单位质量含有的颗粒数8重量矩个数平均径Dw9调和平均径Dh平均比表面积nnd）（2）（）（3dmdm续表2.732nnd）（33）（dmm）（）（ndnd3）（2dmm44nnd）（43）（）（dmdm）（dnn）（）（43dmdm）（3vvp1D第2章粉末的性能与表征注：D1D2=Ds2；D1D2D3=Dv3；D3=Dv3/Ds2；D4=(Dw4/Dv3)D2D3=Dvd2；D4D3Dw（D2=Dv=Dvd）DsD1Dh。上述单一粒径和平均粒径的计算是为着不同的实际单元操作过程或某一粉体研究需要的。各平均粒径间的差别较大，可根据具体生产过程单元操作过程、粒径范围、粒径应用的目的等选择应用。对于分离操作系统的颗粒，最好选用重力沉降和离心沉降方法测定颗粒的Stokes径，即按照沉降速度求相当径；测量催化剂颗粒粒径时，最好采用比表面积及比表面积平均径。第2章粉末的性能与表征2.1.4颗粒的形状2.1.4.1颗粒形状的概念颗粒形状是指一个颗粒的轮廓边界或表面上各点所构成图像，它是除粒径外，颗粒的另一几何特征。颗粒的形状对粉末体的许多性质均有直接的影响。粉体的比表面积、流动性、压缩性、填充性、研磨性、化学活性以及涂料的覆盖能力等直接与粉末在混合、压制、烧结、储存、运输等单元过程行为有关。第2章粉末的性能与表征严格地说，所测得粒径，只是一种定性表示。常用各种形状因数表示颗粒形状特征。语言术语描述颗粒形状的方法数学术语第2章粉末的性能与表征球形spherical粒状granular立方体cubical棒状rodlike片状platy，discal针状needlelike柱状perismoidal纤维状fibrous鳞状flaky树枝状dendritic海绵状spongy聚集体agglomerate块状blocky中空hollow尖角状sharp粗糙rough圆角状round光滑smooth多孔porous毛绒fluffy，nappy表2.8颗粒形状的基本术语（语言术语）第2章粉末的性能与表征2.1.4.2形状指数和形状系数通常将表示颗粒外形的几何量的各种无因次组合称为形状指数(ShapeIndex)。除特殊情况需要三种尺寸以外，一般至少需要两种数据及其组合。常使用的数据包括三轴方向颗粒大小的代表值、二维图像投影的轮廓曲线，以及表面积和体积等立体几何各有关数据。1）形状指数与外形尺寸相关的形状指数与表面积或体积相关的形状指数与颗粒投影周长相关的形状指数形状指数第2章粉末的性能与表征常用的形状指数有三种：第2章粉末的性能与表征（1）与颗粒外形尺寸相关的形状指数均齐度：一个不规则的颗粒放在一平面上，一般情形是颗粒的最大投影面（也就是最稳定的平面）与支撑平面相黏合。这时颗粒具有最大的稳定度。以长方体为颗粒的基准几何形状，根据长、宽、高三轴径l、b、h之间的比值，导出下面形状指数：扁平度=短径/高度=b/h（≥1）(2.34)长短度=长径/短径=l/b（≥1）(2.35)第2章粉末的性能与表征（2）与表面积或体积相关的形状指数①体积充满度fv：表示外接长方体体积与颗粒体积Vp之比，数学表达式:fv=lbh/Vp（≥1）（2.35）②面积充满度fb：表示颗粒投影面积A与最小外接矩形面积之比，数学表达式为：fb=A/lb（≤1）(2.36)③球形度φ0：表示颗粒接近球体的程度。第2章粉末的性能与表征球形度φ0是一个应用较广泛的形状系数，定义为：一个与待测颗粒体积相等的球体表面积与该颗粒的表面积之比。表达式为（2.37）φ0=与颗粒体积相等的球体表面积/颗粒表面积(2.37)对于形状不规则颗粒，当测定其表面积比较困难时，可采用实用球形度来衡量。实用球形度用式(2.38)表示：φ0´=与颗粒投影面积相等圆直径/颗粒投影的最小外接圆直径（≤1）（2.38）表2.9为理论计算的一部分形状规则颗粒的球形度值和少数几种物料的实测球形度值。第2章粉末的性能与表征表2.9各种颗粒的球形度颗粒形状(物料名称球形度φo颗粒形状或物料名称球形度φo球形颗粒1.000圆盘体h=r0.827八面体0.847h=r/30.594正方体0.806h=r/100.323长方体L×L×2L(单边长)0.767天然煤粉0.650L×2L×2L0.761粉碎煤粉0.730L×2L×3L0.725粉碎玻璃0.650圆柱体(h高，r半径)h=3r0.860参差不齐的遂石砂0.650h=10r0.691参差不齐片状燧石砂0.430h=20r0.580接近于球体渥太华砂0.95第2章粉末的性能与表征ADH4（3）与颗粒投影周长相关的形状指数②表面粗糙度ζ：它表示接近球体的程度，颗粒ζ越大越接近球形，数学表达式为（2.41）：ζ=颗粒投影周长/相同面积椭圆的周长(2.41)不同形状颗粒在圆形度和表面粗糙度坐标系中的投影如图2.13所示。(2.40)式中①圆形度φc：表示颗粒投影与圆接近程度，颗粒圆形度越大越接近球形，数学表达式如下：φc=相同投影面积圆周长/颗粒投影周长=DH/L(2.39)第2章粉末的性能与表征图2.13不同形状颗粒在圆形度和表面粗糙度坐标系中的投影第2章粉末的性能与表征2）形状系数体积形状系数φv阻力形状系数kv动力学形状系数k形状系数把与颗粒形状有关因素概括为一个修正系数加以考虑，该修正系数即为形状系数。实际上形状系数是用来衡