圆内接四边形的性质

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11.2.5圆内接四边形的性质1、(1)圆的内接四边形对角互补。如图:四边形ABCD内接于⊙o,则有:∠A+∠B=1800.∠B+∠C=1800.(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。如图:∠CBE是圆内接四边形ABCDD的一外角,则有:∠CBE=∠D.2、圆内接四边形的判定。(1)判定定理:如果一个四边形对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆。(2)推论;如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆。〖例1〗如图所示,已知四边形ABCD内接于圆,延长AB和DC相交于E,EG平分∠BEC,且与BC、AD分别相交于FG.求证:∠CFG=∠DGF.分析:已知四边形ABCD内接于圆,自然想到圆内接四边形的性质定理,即∠BCE=∠BAD,又EG平分∠BEC,故△CFE∽△AGE.[证明]因为四边形ABCD是圆内接四边形。所以∠ECF=∠EAG.又因为EG平分∠BEC,即∠CEF=∠AEG,所以△EFC∽△EGA.所以∠EFC=∠EGA.而∠DGF=1800-∠EGA,∠CFG=1800-∠EFC,所以∠CFG=∠DGF.3、切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。几何语言:∵PT切⊙0于T,PBA是⊙0的割线.∴PT2=PA·PB(切割线定理)4、割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。几何语言:∵PT是⊙0的切线,PBA、PDC是⊙0的割线.∴PO·PC=PA·PB(割线定理)由上可知:PT2=PA·PB=PC·PD.5、相交弦定理圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。(经过圆内一点引两条弦,各弦被这点所分成的两段的积相等)证明:连结AB,CD由圆周角定理的推论,得∠A=∠C,∠B=∠D。(圆周角推论2:同(等)弧所对圆周角相等)∴△PAB∽△PCD∴PA∶PC=PB∶PD,PA·PD=PB·PC6、弦切角定理弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。等于它所夹的弧的圆周角度数。如上图,已知:直线PT切圆O于点C,BC、AC为圆O的弦。求证:∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC证明:设圆心为O,连接OC,OB,。∵PC²=PB·AP∴PC/AP=PB/PC又∵∠CPB=∠BPC∴△CAP∽△BCP∴∠CAP=∠BCP∴∠TCB=∠BAC∴∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC综上所述:∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

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