函数总结

-1-本章整合知识建构综合应用真题放送函数的概念定义域:自变量取值的集合值域:所有函数值构成的集合对应法则:是联系自变量与函数值的桥梁和纽带函数的表示法列表法:通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系图象法:用“图形”来表示函数关系解析法:用代数式来表达函数函数的性质单调性:设任意的两个数𝑥1,𝑥2∈𝑀,在Δ𝑥=𝑥2-𝑥10时,去判断Δ𝑦=𝑓(𝑥2)-𝑓(𝑥1)的正负奇偶性:先判断定义域是否关于原点对称,再比较𝑓(-𝑥)与𝑓(𝑥)的关系来判断奇偶性函数的零点:若函数𝑦=𝑓(𝑥)在实数𝛼处有𝑓(𝛼)=0,则𝛼为此函数的零点一次函数与二次函数一次函数的图象和性质:其图象是一条直线,其各种性质可结合图象研究二次函数的图象和性质:其图象是一条抛物线,其各种性质可结合图象研究函数的应用:一般体现在对一次函数、二次函数及分段函数的实际应用,关键就是建模与解模思想方法分类讨论思想:对相关参数按一定标准分别说明数形结合思想:数与形的相辅相成,数借助于形更直观,形赋之于数更严谨、更精确化归思想:将未知的问题转化成已知的问题来解决函数与方程思想:函数的图象、方程的根、函数的零点及不等式的解的交互融合换元法:求函数解析式、函数值域常用的一种方法二分法:求函数的零点或方程的近似根的常用方法知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五专题一分段函数的相关问题1.因为分段函数在定义域的不同部分有不同的对应关系,所以分段函数可以将不同函数综合在一起,体现了知识的重组和再生;2.解决分段函数问题能体现分类讨论的思想方法和函数性质的综合应用,展现了基础知识的横向联系,数学方法上的纵向引申,在考查知识上有一定的弹性,成为历年高考的必考知识点之一.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五应用1已知实数a≠0,函数f(x)=2𝑥+𝑎,𝑥1,-𝑥-2𝑎,𝑥≥1.若f(1-a)=f(1+a),则实数a的值等于.提示:应讨论1-a,1+a与1的大小关系,即讨论a与0的大小关系.解析:(1)当a0时,1-a1,1+a1,有f(1-a)=2(1-a)+a=2-a,f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a,即2-a=-1-3a,解得a=−32,不符合题意,舍去;知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五(2)当a0时,1-a1,1+a1,有f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a,f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a,即-1-a=2+3a,解得a=−34,符合题意.综上可知,a的值为−34.答案:−34知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五应用2若函数f(x)=𝑎𝑥+2,𝑥≤0,-𝑥2+𝑎𝑥+𝑎+4,𝑥0在R上是减函数,则实数a的取值范围是.提示:f(x)在R上单调递减,应要求f(x)在每一段上都要单调递减,并且还应使左边一段的最小值不小于右边一段的最大值.解析:依题意,要使f(x)在R上是减函数,则有𝑎0,-𝑎-2≤0,2≥𝑎+4,解得a≤-2.答案:(-∞,-2]知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五应用3已知函数f(x)=-𝑥2+𝑘𝑥,𝑥≤2,𝑘2𝑥-21𝑘+59,𝑥2,若存在x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2),则实数k的取值范围是.提示:转化为函数f(x)的图象与平行于x轴的直线至少有2个不同交点的问题进行求解.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五解析:依题意知,存在与x轴平行的直线与f(x)图象至少有2个不同交点.当抛物线y=-x2+kx的对称轴𝑘22时,显然成立,即k4;当抛物线y=-x2+kx的对称轴𝑘22时,应满足-4+2k2k2-21k+59,解得92𝑘7.综上,实数k的取值范围是(-∞,4)∪92,7.答案:(-∞,4)∪92,7知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五专题二函数图象及其应用函数的图象是变量间的直观反映,能较形象地分析出变量间的变化趋势,也是研究函数性质(最值、单调性)的有力工具,并且函数图象的应用正是体现了数形结合的重要思想.如果能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来,就能促使抽象思维和形象思维的和谐统一,通过对规范图形或示意图形的观察分析,化抽象为直观,化直观为精确,从而使问题得到解决.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五应用1某地一天内的气温Q(单位:℃)与时刻t(单位:h)之间的关系如图所示,令C(t)表示时间段[0,t]内的温差(即时间段[0,t]内最高温度与最低温度的差).C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示,则正确的图象大致是()知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五解析:由题图知Q与t之间的关系的图象过点(0,-2),(4,-4),(8,0),(24,-12),当t=0时,C(t)=0;当t=4时,C(t)=2;当t=8时,C(t)=4;当t=24时,C(t)=16.则C(t)与t的函数关系的图象过点(0,0),(4,2),(8,4),(24,16).可知选项D正确.答案:D知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五应用2求函数y=|x+2|-|x-2|的最小值.提示:思路一:画出函数的图象,利用函数最小值的几何意义,写出函数的最小值;思路二:利用绝对值的几何意义,转化为数轴上的几何问题:数轴上到±2两点的距离差的最小值.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五解:方法一:y=|x+2|-|x-2|=−4,𝑥≤−2,2𝑥,−2𝑥2,4,𝑥≥2.其图象如图所示.由图象,得函数的最小值是-4.方法二:函数的解析式y=|x+2|-|x-2|的几何意义是:P是数轴上任意一点,函数y的值是点P到-2,2的对应点A,B的距离的差,即y=|PA|-|PB|,如图所示.观察数轴可得,-|AB|≤|PA|-|PB|≤|AB|,故函数的最小值为-4.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五专题三函数性质中的含参数问题研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手,分析函数的图象及其变化趋势.从近几年的高考形式来看,对函数性质的考查,多数情况下都含有参数,这就需要合理地对参数进行分类讨论及界定参数的性质.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五应用1若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a=.解析:因为f(x)=2𝑥+𝑎,𝑥≥-𝑎2,-2𝑥-𝑎,𝑥-𝑎2,所以f(x)在-𝑎2,+∞上单调递增,在-∞,-𝑎2上单调递减,故−𝑎2=3,解得a=-6.答案:-6知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五应用2判断f(x)=|x+a|-|x-a|(a∈R)的奇偶性.提示:要注意字母a对函数性质的影响,即对a进行分类讨论.解:函数的定义域为(-∞,+∞),关于原点对称.(1)当a≠0时,f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-(|x+a|-|x-a|)=-f(x).(2)当a=0时,函数f(x)=|x+a|-|x-a|变为f(x)=|x|-|x|=0,有f(-x)=f(x)=0,且f(-x)=-f(x)=0.综上可知,当a∈R,且a≠0时,函数f(x)为奇函数;当a=0时,函数f(x)既是奇函数又是偶函数.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五应用3已知函数f(x)=-x(x-a),x∈[a,1],(1)若函数f(x)在区间[a,1]上是单调函数,求a的取值范围;(2)求f(x)在区间[a,1]上的最大值g(a).提示:(1)对称轴决定着二次函数的单调性;(2)对对称轴进行讨论,并结合所给的区间求解.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五解:(1)因为f(x)=-x(x-a)=-x2+ax,x∈[a,1],所以对称轴为x=𝑎212.因为函数f(x)在区间[a,1]上是单调函数,所以𝑎2≤a,即a≥0.故0≤a1,即a的取值范围是[0,1).(2)由已知,得a1.①当𝑎2𝑎,即a0时,g(a)=f(a)=0;②当a≤𝑎2≤1,即a≤0时,g(a)=𝑓𝑎2=𝑎24.综上可知,g(a)=0,0𝑎1,𝑎24,𝑎≤0.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五专题四函数与方程的思想在解题中的应用所谓函数的思想,就是用运动变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关系,剔除问题中的非数学因素,抽象其数学特征,用函数的形式把这种数量关系表示出来,并加以研究,运用函数的性质使问题得到解决的思想.所谓方程的思想,就是在解决问题时,用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的制约关系,列出方程(组),从而求出未知数及各量的值,使问题得到解决.所设的未知数,沟通了变量之间的联系.方程可以看作未知量与已知量相互制约的条件,它架设了由已知探索未知的桥梁.事实上,方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,函数y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,通过方程进行研究,方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五应用1设函数f(x)=2𝑥-2,𝑥∈[1,+∞),𝑥2-2𝑥,𝑥∈(-∞,1),求函数f(x)−14的零点.提示:把f(x)−14看成一个整体函数,求函数f(x)−14的零点即求f(x)−14=0的实数根.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五解:当x≥1时,f(x)−14=2x-2−14=0,解得x=98;当x1时,f(x)−14=𝑥2-2x−14=0,解得x=2+52或2-52.因为x1,所以x=2+52舍去,所以x=2-52.故函数f(x)−14的零点是98或2-52.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五应用2设函数f(x)=ax+2a+1(a≠0),在-1≤x≤1上f(x)存在一个零点,求实数a的取值范围.提示:先转化为f(-1)f(1)≤0,再结合函数的图象解不等式即可.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五解:因为函数f(x)在-1≤x≤1上存在一个零点,所以f(-1)f(1)≤0,即(-a+2a+1)(a+2a+1)≤0,即(a+1)(3a+1)≤0.令g(a)=(a+1)(3a+1)=0,得函数g(a)的两个零点是a1=-1,a2=−13.作出g(a)的图象如图所示.由图象可知,g(a)≤0时,可得a的取值范围是-1,-13.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五专题五有关抽象函数的问题抽象函数是中学数学中的一个难点,因为抽象,解题时思维常常受阻,思路难以展开.它常以函数或方程的形式出现,常见的题型是求某些特殊值,这类抽象函数问题一般已知条件会给出定义域、某些性质及运算式.其解法常用“赋值法”,即在其定义域内令变量取某特殊值来求解,关键是抽象问题具体化.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五应用1定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)f(m),求实数m的取值范围.提示:应用函数的奇偶性,将变量1-m和m转化到同一个单调区间上,利用函数的单调性求解.解:因为函数f(x)是偶函数,所以f(x)=f(|x|),即f(1-m)=f(|1-m|),f(m)=f(|m|).所以原不等式等价于-2≤1-𝑚≤2,-2≤𝑚≤2,|1-𝑚|2|𝑚|2,解得-1≤m12.故实数m的取值范围是-1,12.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五应用2已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数,且对于任意的a,b∈R,满足f(ab)=af(b)+bf(a).(1)求f(0),f(1)的值;