恒成立问题与有解问题的区别

恒成立问题与有解问题的区别恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容。它是函数、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点，在近几年的试题中，越来越受到命题者的青睐，涉及恒成立与有解的问题，有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目。1、恒成立问题1.1恒成立问题与一次函数联系给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0)，若y=f(x)在[m，n]内恒有f(x)0，则根据函数的图象（直线)可得上述结论等价于ⅰ)a0f(m)0或ⅱ)a0f(n)0，亦可合并定成f(m)0f(n)0，同理，若在[m，n]内恒有f(x)0，则有f(m)0f(n)0【例1】对于满足|p|≤2的所有实数p，求使不等式x2+px+12p+x恒成立的x的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x及P，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。解：不等式即(x-1)p+x2-2x+10，设f(p)=(x-1)p+x2-2x+1，则f(p)在[-2，2]上恒大于0，故有：f(－2)0f(2)0即x2－4x+30x2－10，解得：x3或x1x1或x－1∴x-1或x3.1.2恒成立问题与二次函数联系若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立，则有{a0△0，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。【例2】设f(x)=x2-2ax+2，当x∈[-1，+∞)时，都有f(x)≥a恒成立，求a的取值范围。分析：题目中要证明f(x)≥a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1，+∞)时恒大于0的问题。解：设F(x)=f(x)-a=x2-2ax+2-a.ⅰ)当△=4(a-1)(a+2)0时，即-2a1时，对一切x∈[-1，+∞)，F(x)≥0恒成立；ⅱ)当△=4(a-1)(a+2)≥0时，则由图可得：△≥0f(－1)≥0－－2a2≤－1即(a－1)(a+2)≥0a+3≥0a≤－1，得-3≤a≤-2综合可得a的取值范围为[-3，1]。【例3】设f(x)=x2－2ax+2，当x∈[－1，+∞)时，都有f(x)≥a恒成立，求a的取值范围。分析：题目中要证明f(x)≥a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[－1，+∞)时恒大于0的问题。解：设F(x)=f(x)－a=x2－2ax+2－a①当a≤－1时，F(x)在[－1，+∞)上单调递增，只需F(－1)≥0，即1+2a+2－a≥0-1oxy∴－3≤a≤－1②当a－1时，F(x)在[－1，a]上单调递减，在[a，+∞)上单调递增只需F(a)≥0，即a2－2a2+2－a≥0，得－2≤a≤1;综合可得a的取值范围为[－3，1]。1.3恒成立问题与变量分离联系若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。【例4】已知当x∈R时，不等式a+cos2x5-4sinx+a2恒成立，求实数a的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（x∈R)，另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。解：原不等式即：4sinx+cos2xa2-a+5要使上式恒成立，只需a2-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。f(x)=4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+3≤3，∴a2-a+53即a2－a－20解得a－1或a2。注：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x，故若把sinx换元成t，则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。2、有解问题【例5】不等式kx2+k－20有解，求k的取值范围。解：不等式kx2+k－20有解k(x2+1)2有解k2x2+1有解k(2x2+1)max=2，∴k∈(－∞，2)。【例6】对于不等式|x－2|+|x+1|a，存在实数x，使此不等式成立的实数a的集合是M；对于任意x∈[0，5]，使此不等式恒成立的实数a的集合为N，求集合M、N．解：由f(x)=|x－2|+|x+1|=－2x+1(x－1)3(－1≤x≤2)2x－1(x2)又af(x)有解af(x)min=3，∴M={a|a3}．令g(x)=|x－2|+|x+1|，x∈[0，5]，则ag(x)恒成立ag(x)max=g(5)=9．∴N={a|a9}．3、恒成立与有解的区别（1)不等式f(x)k在x∈I时恒成立fmax(x)k，x∈I或f(x)的上界小于或等于k；（2)不等式f(x)k在x∈I时有解fmin(x)k，x∈I或f(x)的下界小于k；（3)不等式f(x)k在x∈I时恒成立fmin(x)k，x∈I或f(x)的下界大于或等于k；（4)不等式f(x)k在x∈I时有解fmax(x)k，x∈I或f(x)的上界大于k；解决恒成立和有解解问题的基本策略常常是构作辅助函数，利用函数的单调性、最值（或上、下界)、图象求解；基本方法包括：分类讨论，数形结合，参数分离，变换主元等等。