模糊数学及其应用(1-3讲)

模糊数学及其应用FuzzyMathematicsandItsApplications授课教师：史战红为什么要学习这门课？1.进一步了解和掌握数学的应用2.为写好一篇优秀的毕业论文做好准备3.为研究生阶段写学位论文打下基础《模糊数学及其应用》教学大纲：课程学时：32课程学分：2课程性质：公共选修课适用专业：全校各专业预修课程：高等数学、线性代数教学内容及学时安排：第一章模糊集的基本概念12学时第二章模糊识别4学时第三章模糊关系与模糊聚类分析6学时第四章模糊数学在数学建模中的应用8学时课程讨论2学时教材及主要参考书：谢季坚，刘承平编著，《模糊数学方法及其应用》(第三版)，华中科技大学出版社,2006考试考核方式：考勤占30分上课笔记占30分（注：每人必须有一个笔记本）课程论文40分课程目标：模糊数学已在科技、工程等领域显示出了强大的生命力，并在人文科学（经济、管理、社会等）领域里，也已获得了相当多的应用。该课程主要介绍模糊数学的基本内容：模糊集合、模糊关系、模糊综合评价、模糊聚类分析以及模糊数学在数学建模中的应用。通过本课程的学习，使学生了解并初步掌握模糊数学的基本思想，基础理论和方法，并能够运用所学的知识解决实际问题，同时，通过介绍模糊数学在数学建模中的应用以培养和提高学生应用数学的思维、知识、方法解决实际问题的意识和能力。模糊数学简介1.什么是模糊？年轻、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、强、弱、软、硬……2.为什么要研究模糊问题？（1）用传统数学（经典集合）解决实际问题时往往会出现一些悖论如：“秃顶悖论”秃顶悖论:天下所有的人都是秃顶设头发根数为nn=1显然若n=k为秃子则n=k+1亦为秃子证明如下：综上知对所有的n结论成立模糊概念：是指从属于该概念到不属于该概念之间无明显分界线的概念出现这类问题的原因：（2）我们所处的生活中处处存在模糊2.为什么要研究模糊问题？例如：要你到火车站去接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”.尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他信息――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人.有时模糊性比精确性还要好.模糊数学就是用数学的办法去解决生活中的模糊问题3.什么是模糊数学？其主要工具是：隶属函数、模糊关系、模糊矩阵1965年，Zadeh（扎德）提出4.模糊数学的起源拉特飞‧扎德（LotfiA.Zadeh，1921～）美国自动控制专家，美国工程科学院院士。1921年2月生于苏联巴库。1949年获哥伦比亚大学电机工程博士。现任伯克利加利福尼亚大学电机工程与计算机科学系教授。因发展模糊集理论的先驱性工作而获电气与电子工程师学会(IEEE)的教育勋章。L.A.Zadeh,Fuzzysets,InformationandControl8(3)(1965)338-353.提供了一种分析复杂系统的新方法，标志着模糊数学的诞生。5.模糊数学的应用利用模糊数学和模糊逻辑，能很好地处理各种模糊问题。如计算机使用模糊数学，便能大大提高模式识别能力，可模拟人类神经系统的活动。在工业控制领域中，应用模糊数学，可使空调器的温度控制更为合理，洗衣机可节电、节水、提高效率等等。此外，模糊数学在气象、农业、军事等领域都有着广泛的应用6.模糊数学在中国在美国，日本，法国等世界数学强国相继研究模糊数学，并取得一些阶段性的进展的同时，1976年中国开始注意模糊数学的研究。1980年成立了中国模糊集与系统协会。1981年，创办《模糊数学》杂志，1987年，创办了《模糊系统与数学》杂志。还出版过大量的颇有价值的论著。例如：汪培庄教授所著《模糊集合论及其应用》，张文修教授编著的《模糊数学基础》等。一.经典集合(Cantor集合)经典集合具有两条基本属性：元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明,即一个元素x要么属于集合A(记作xA),要么不属于集合(记作xA)，二者必居其一.第一章模糊集的基本概念-------------“非此即彼”1.集合的表示法：(1)枚举法，A={x1,x2,…,xn}；(2)描述法，A={x|P(x)}.2.集合间的关系：AB若xA，则xB；AB若xB，则xA；A=BAB且AB.3.集合间的运算：并集A∪B={x|xA或xB}；交集A∩B={x|xA且xB}；余集Ac={x|xA}.4.集合的运算规律(1)幂等律：A∪A=A，A∩A=A；(2)交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；(3)结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；(4)吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；(5)分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；(6)0-1律：A∪U=U，A∩U=A；A∪=A，A∩=；(7)还原律：(Ac)c=A；(8)对偶律（摩根律）：(A∪B)c=Ac∩Bc，(A∩B)c=Ac∪Bc；(9)排中律：A∪Ac=U，A∩Ac=；U为全集，为空集.0,()1,AxAxxA5.集合的特征函数：集合A的特征函数为注：集合A的特征函数为一个映射：φA(x)：U→{0,1}特征函数与集合间的关系如下：;0)(,1)(xAxUAAA);()(xxBABA()()ABABxx)()()(xxxBABA)()()(xxxBABA)(1)(xxAAc∧表示：“取小”，∨表示：“取大”二.模糊集合(Fuzzysets)1.定义设U是论域，称映射A(x)：U→[0,1]确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度.注：（1）使A(x)=0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性.（2）当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数.可见经典集合是模糊集合的特殊情形.例1设论域U={x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)}(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为：140190140)(xxA此即：A(x1)=0,A(x2)=0.2,A(x3)=0.4,A(x4)=0.6,A(x5)=0.8,A(x6)=1例1中的模糊集A用Zadeh表示法表示如下：65432118.06.04.02.00xxxxxxAZadeh对模糊集的表示法：A=A(x1)/x1+A(x2)/x2+…+A(xn)/xn还可用向量表示法：A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1).另外，对例1还可以在U上建立一个“矮个子”、“中等个子”等模糊子集.从上例可看出：(1)一个有限论域可以有无限个模糊子集,而经典子集是有限的；(2)一个模糊子集的隶属函数的确定方法是主观的.隶属函数是模糊数学中最重要的概念之一，模糊数学方法是在客观的基础上，特别强调主观的方法.例2考虑年龄集U=[0,100]，A=“年老”，A也是一个年龄集，u=20∉A，40呢？…扎德给出了“年老”模糊集的隶属函数:10U50100如：A(70)=(1+1/16)-1=16/17=0.9410050,))550(1(500,0)(12uuuuA例3B=“年轻”也是年龄集U=[0,100]的一个模糊子集，Zadeh给出它的隶属函数为：102550UB（u）如：B(25)=1B(30)=0.5B(40)=0.1B(50)=0.0410025,))525(1(250,1)(12uuuuB2.模糊集的运算（1）相等：A=BA(x)=B(x)；（2）包含：ABA(x)≤B(x)；（3）交：A∩B的隶属函数为(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)；（4）并：A∪B的隶属函数为：(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)；（5）余：Ac的隶属函数为：Ac(x)=1-A(x).图例如下：例4设U={x1,x2,x3,x4},A和B是U上的两个模糊子集，且：A=0.3/x1+0.5/x2+0.7/x3+0.4/x4B=0.5/x1+1/x2+0.8/x3则：Ac=0.7/x1+0.5/x2+0.3/x3+0.6/x4Bc=0.5/x1+0/x2+0.2/x3+1/x4A∩B=0.3/x1+0.5/x2+0.7/x3A∪B=0.5/x1+1/x2+0.8/x3+0.4/x4设A，B，C为论域U上的模糊子集，则有：（1）幂等律：A∪A=A，A∩A=A；（2）交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；（3）结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；（4）吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；（5）分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；3.模糊集的运算律（6）0-1律：A∪U=U，A∩U=A；A∪=A，A∩=；（7）还原律：(Ac)c=A；（8）对偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc，(A∩B)c=Ac∪Bc。证明：（8）对偶律的证明：对于任意的xU(论域)，(A∪B)c(x)=1-(A∪B)(x)=1-(A(x)∨B(x))=(1-A(x))∧(1-B(x))=Ac(x)∧Bc(x)=Ac∩Bc(x)从而有：(A∪B)c=Ac∩Bc注：模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，但对于模糊集而言，排中律不成立，即A∪AcU，A∩Ac.如：A=0.3/x1+0.5/x2+0.7/x3+0.4/x4Ac=0.7/x1+0.5/x2+0.3/x3+0.6/x4A∪Ac=0.7/x1+0.5/x2+0.7/x3+0.6/x4≠U即：模糊集不再具有“非此即彼”的特点，这正是模糊性带来的本质特征.例5设论域U={x1,x2,x3,x4,x5}(商品集)，在U上定义两个模糊集：A=“商品质量好”，B=“商品质量坏”，并设A=(0.8,0.55,0,0.3,1)，B=(0.1,0.21,0.86,0.6,0).则Ac=“商品质量不好”,Bc=“商品质量不坏”.Ac=(0.2,0.45,1,0.7,0).Bc=(0.9,0.79,0.14,0.4,1).可见AcB,BcA.不再具有“非此即彼”的特点A={x|A(x)≥}3.-截集：模糊集的-截集A是一个经典集合，由隶属度不小于的成员构成.称为阈值或置信水平例6论域U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}（学生集），其成绩依次为50,60,70,80,90,95（分），模糊集A=“成绩好的学生”，其隶属度分别为：0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95，则A0.9={u5,u6},(90分以上者)A0.6={u2,u3,u4,u5,u6}.(60分以上者)注：设A,B是论域U上的两个模糊子集，,[0,1]，于是有如下-截集的性质：(1)BABA；(2)≤AA；(3)(A∪B)=A∪B，(A∩B)=A∩B.见下图：A(x)B(x)λAλBλx(1)BABA；A(x)λAλx(2)≤AAμAμ4.1隶属函数的确定1.模糊统计方法如：对“年轻人”的认识，可进行抽样统计。2.指派方法（专家经验法）一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表达式。4.隶属函数亩产（kg）200250300350400450500550700800频数81833517696111114121123频率0.070.150.270.410.620.780.90.930.981例4.1设论域U={水稻}，A=“高产水稻”为一模糊集。下建立A的隶属函数：一般地，由于全国各地受自然条件的影响，人们对“高产”的认识也不一样，现对123人做了问卷调查，结果如下：模糊统计法这样，